È noto che l'equazione bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 ha una radice reale. Dimostra che l'equazione x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 non ha radici reali.?

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Le radici per # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # siamo

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Le radici saranno coincidenti e reali se

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

# A = b # o #a = 5b #

Ora risolvendo

# X ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # noi abbiamo

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

La condizione per le radici complesse è

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

ora facendo #a = b # o #a = 5b # noi abbiamo

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Concludendo, se # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # ha quindi coincidenti vere radici # X ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # avrà radici complesse.

Ci viene dato che l'equazione:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

ha una radice reale, quindi il discriminante di questa equazione è zero:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, o # a = 5b #

Cerchiamo di mostrare l'equazione:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

non ha radici reali. Ciò richiederebbe una discriminante negativa. Il discriminante per questa equazione è:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

E ora consideriamo i due casi possibili che soddisfano la prima equazione:

Caso 1: # A = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Caso 2: # A = # 5b

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Quindi le condizioni della prima equazione sono tali che la seconda equazione ha sempre un discriminante negativo, e quindi ha radici complesse (cioè senza radici reali), QED