Come trovi l'area di un parallelogramma con i vertici?

Risposta:

Per parallelogramma # ABCD # l'area è

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Spiegazione:

Supponiamo che il nostro parallelogramma # ABCD # è definito dalle coordinate dei suoi quattro vertici - # X_A, y_A #, # X_B, y_B #, # X_C, y_C #, # X_D, y_D #.

Per determinare l'area del nostro parallelogramma, abbiamo bisogno della lunghezza della sua base # | AB | # e l'altitudine # | DH | # dal vertice # D # indicare # H # sul lato # # AB (questo è, #DH_ | _AB #).

Prima di tutto, per semplificare il compito, spostiamolo in una posizione quando è il suo vertice #UN# coincide con l'origine delle coordinate. L'area sarà la stessa, ma i calcoli saranno più facili.

Quindi, eseguiremo la seguente trasformazione delle coordinate:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Poi il (# U, V #) le coordinate di tutti i vertici saranno:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, v_c = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Il nostro parallelogramma ora è definito da due vettori:

# P = (U_B, V_B) # e # Q = (U_D, V_D) #

Determina la lunghezza della base # # AB come la lunghezza del vettore # P #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

La lunghezza dell'altitudine # | DH | # può essere espresso come # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

La lunghezza #ANNO DOMINI# è la lunghezza del vettore # # Q:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Angolo #/_MALE# può essere determinato utilizzando due espressioni per il prodotto scalare (punto) dei vettori # P # e # # Q:

# (P * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | P | * | q | * cos (/ _ BAD) #

da cui

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# Sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Ora conosciamo tutti i componenti per calcolare l'area:

Base # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Altitudine # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

L'area è il loro prodotto:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

In termini di coordinate originali, assomiglia a questo:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Risposta:

un'altra discussione

Spiegazione:

Prova geometrica

Considerando la figura

possiamo facilmente stabilire la formula per il calcolo dell'area di un parallelogramma ABCD, quando sono noti tre vertici (ad esempio A, B, D).

Dal momento che diagonale BD biseca il parallelogramma in due triangoli congruenti.

L'area del parallelogramma ABCD

= 2 area del triangolo ABD

= 2 area del trapezio BAPQ + area della trappola BQRD - area della trappola DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + cancel (Y_BX_B) -cancel (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + cancella (Y_DX_D) -cancel (Y_BX_B) -Y_AX_D-cancel (Y_DX_D) + cancella (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Questa formula darà l'area del parallelogramma.

Prova considerando il vettore

Può anche essere stabilito considerando #vec (AB) # e# vec (AD) #

Adesso

Vettore di posizione del punto A w.r, t dell'origine O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Posiziona il vettore del punto B w.r, t l'origine O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Posizionare il vettore del punto D w.r, t l'origine O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Adesso

Area del parallelogramma ABCD

# = Base (AD) * Altezza (BE) = ANNUNCIA * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Ancora

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Area = # | Vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + cancella (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-cancel (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Quindi abbiamo la stessa formula