Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Risposta:

C'è un estremo in #(3,3,27)#

Abbiamo:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

E così deriviamo le derivate parziali:

# (parziale f) / (parziale x) = y - 27 / x ^ 2 # e # (parziale f) / (parziale y) = x - 27 / y ^ 2 #

A un estremo o punti di sella abbiamo:

# (partial f) / (partial x) = 0 # e # (parziale f) / (parziale y) = 0 # contemporaneamente:

cioè una soluzione simultanea di:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Sottraendo queste equazioni si ottiene:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Possiamo eliminare # x = 0; y = 0 # e così # X = y # è l'unica soluzione valida, che porta a:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

E con # X = y = 3 #, noi abbiamo:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Quindi c'è un solo punto critico che si verifica in (3,3,27) che può essere visto su questo grafico (che include il piano tangente)