Sia G un gruppo ciclico e G = 48. Come trovi tutto il sottogruppo di G?

Risposta:

I sottogruppi sono tutti ciclici, con ordini che si dividono #48#

Spiegazione:

Tutti i sottogruppi di un gruppo ciclico sono essi stessi ciclici, con ordini che sono divisori dell'ordine del gruppo.

Per capire perché, supponiamo # G = <a> # è ciclico con l'ordine # N # e #H sottotono G # è un sottogruppo.

Se # a ^ m in H # e # a ^ n in H #allora lo è anche # A ^ (pm + Qn) # per qualsiasi numero intero #p, q #.

Così # a ^ k in H # dove #k = GCF (m, n) # ed entrambi # A ^ m # e # A ^ n # sono dentro # <a ^ k> #.

In particolare, se # a ^ k in H # con #GCF (k, N) = 1 # poi #H = <a> = G #.

Inoltre non quello se #mn = N # poi # <a ^ m> # è un sottogruppo di # G # con ordine # N #.

Possiamo dedurre:

• # H # non ha più di #1# Generatore.
• L'ordine di # H # è un fattore di # N #.

Nel nostro esempio #N = 48 # e i sottogruppi sono isomorfi per:

# # C_1, # # C_2, # # C_3, # # C_4, # # C_6, # # C_8, # # C_12, # # C_16, # # C_24, # # C_48

essere:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #