Qual è la derivata di -sin (x)?

La risposta precedente contiene errori. Ecco la derivazione corretta.

Prima di tutto, il segno meno di fronte a una funzione #f (x) = - sin (x) #, quando si prende una derivata, cambierebbe il segno di una derivata di una funzione #f (x) = sin (x) # a un contrario. Questo è un teorema facile nella teoria dei limiti: il limite di una costante moltiplicato per una variabile è uguale a questa costante moltiplicata per un limite di una variabile. Quindi, troviamo la derivata di #f (x) = sin (x) # e poi moltiplicarlo per #-1#.

Dobbiamo iniziare dalla seguente affermazione sul limite della funzione trigonometrica #f (x) = sin (x) # poiché la sua argomentazione tende a zero:

#lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 #

La dimostrazione di ciò è puramente geometrica e si basa su una definizione di una funzione #sin (x) #. Ci sono molte risorse Web che contengono una prova di questa affermazione, come The Math Page.

Usando questo, possiamo calcolare una derivata di #f (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Utilizzando la rappresentazione di una differenza di #peccato# funziona come un prodotto di #peccato# e # cos # (vedi Unizor, Trigonometria - Trig Sum of Angles - Problemi 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h / 2) #

#f '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Pertanto, derivato di #f (x) = - sin (x) # è #f '(x) = - cos (x) #.