Cosa si intende per limite di una sequenza infinita?

Il limite di una sequenza infinita ci dice del suo comportamento a lungo termine.

Data una sequenza di numeri reali #un#, è un limite #lim_ (n to oo) a_n = lim a_n # è definito come il valore singolo che la sequenza si avvicina (se si avvicina a qualsiasi valore) mentre facciamo l'indice # N # più grande. Il limite di una sequenza non esiste sempre. Se lo fa, si dice che la sequenza sia convergente, altrimenti si dice che sia divergente.

Due semplici esempi:

Considera la sequenza # 1 / n #. È facile vedere che il limite è #0#. Infatti, dato qualsiasi valore positivo vicino a #0#, possiamo sempre trovare un valore abbastanza grande di # N # così # 1 / n # è inferiore a questo valore dato, il che significa che il limite deve essere inferiore o uguale a zero. Inoltre, ogni termine della sequenza è maggiore di zero, quindi il suo limite deve essere maggiore o uguale a zero. Pertanto, lo è #0#.
Segui la sequenza costante #1#. Cioè, per ogni dato valore di # N #, il termine #un# della sequenza è uguale a #1#. È chiaro che non importa quanto siamo grandi # N # il valore della sequenza è #1#. Quindi è il limite #1#.

Per una definizione più rigorosa, lascia #un# essere una sequenza di numeri reali (cioè, #forall n in NN: a_n in RR #) e #epsilon in RR #. Quindi il numero #un# si dice che sia il limite della sequenza #un# se e solo se:

#forall epsilon> 0 esiste N in NN: n> N => | a_n - a | <epsilon #

Questa definizione equivale alla definizione informale di cui sopra, tranne per il fatto che non è necessario imporre l'unicità per il limite (si può dedurre).

Il primo e il secondo termine di una sequenza geometrica sono rispettivamente il primo e il terzo termine di una sequenza lineare. Il quarto termine della sequenza lineare è 10 e la somma dei suoi primi cinque termini è 60 Trova i primi cinque termini della sequenza lineare?

{16, 14, 12, 10, 8} Una tipica sequenza geometrica può essere rappresentata come c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k e una tipica sequenza aritmetica come c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Chiamando c_0 a come primo elemento per la sequenza geometrica abbiamo {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Primo e secondo di GS sono il primo e il terzo di un LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "Il quarto termine della sequenza lineare è 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "La somma dei suoi primi cinque termini è 60"):} Risoluzione per c_0, a, Delta otteniamo c_0 = 64/3 , a = 3/4

Puoi trovare il limite della sequenza o determinare che il limite non esiste per la sequenza {n ^ 4 / (n ^ 5 + 1)}?

La sequenza ha lo stesso comportamento di n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n quando n è grande Dovresti manipolare l'espressione solo un po 'per rendere chiara questa affermazione. Dividi tutti i termini per n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ). Tutti questi limiti esistono quando n-> oo, quindi abbiamo: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, quindi la sequenza tende a 0

Qual è la differenza tra una sequenza infinita e una serie infinita?

Una sequenza infinita di numeri è una lista ordinata di numeri con un numero infinito di numeri. Una serie infinita può essere pensata come la somma di una sequenza infinita.