Mostra che int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Risposta:

Vedi la spiegazione

Spiegazione:

Vogliamo mostrare

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Questo è un integrale abbastanza "brutto", quindi il nostro approccio non sarà quello di risolvere questo integrale, ma confrontarlo con un integrale "più bello"

Noi ora questo per tutti i numeri reali positivi #color (rosso) (sin (x) <= x) #

Quindi, il valore dell'integrand sarà anche più grande, per tutti i numeri reali positivi, se sostituiremo # X = sin (x) #, quindi se possiamo mostrare

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Quindi anche la nostra prima affermazione deve essere vera

Il nuovo integrale è un semplice problema di sostituzione

# Int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ ^ 0 1 = sqrt (2) -1 #

L'ultimo passo è notarlo #sin (x) = x => x = 0 #

Quindi possiamo concludere

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #