Qual è il vettore unitario che è ortogonale al piano contenente (-i + j + k) e (3i + 2j - 3k)?

Risposta:

Ci sono due vettori unitari qui, a seconda del tuo ordine di operazioni. Loro sono # (- 5i + 0j -5k) # e # (5i + 0j 5k) #

Spiegazione:

Quando si prende il prodotto incrociato di due vettori, si sta calcolando il vettore che è ortogonale ai primi due. Tuttavia, la soluzione di # # VecAoxvecB di solito è uguale e opposto in grandezza di # # VecBoxvecA.

Come rapido aggiornamento, un prodotto trasversale di # # VecAoxvecB costruisce una matrice 3x3 che assomiglia a:

# | i j k | #

# | A_x A_y A_z | #

# | B_x B_y B_z | #

e ottieni ogni termine prendendo il prodotto dei termini diagonali andando da sinistra a destra, partendo da una data lettera vettoriale unitaria (i, j, ok) e sottraendo il prodotto di termini diagonali che vanno da destra a sinistra, a partire dal stessa lettera vettoriale:

# (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

Per le due soluzioni, consente di impostare:

#vecA = - i + j + k #

# VecB = 3i + 2j-3k #

Diamo un'occhiata a entrambe le soluzioni:

1. # # VecAoxvecB

Come sopra:

# vecAoxvecB = (A_yxxB_z-A_zxxB_y) i + (A_zxxB_x-A_x xxBz) j + (A_x xxB_y-A_yxxB_x) k #

# vecAoxvecB = (1xx (-3) -1xx2) i + (1xx3 - (- 1) xx (-3)) j + (- 1 xx2-1xx3) k #

#vecAoxvecB = (- 3-2) i + (3-3) j + (- 2-3) k #

#color (rosso) (vecAoxvecB = -5i + 0j-5k #

1. # # VecBoxvecA

Come una capovolgimento alla prima formulazione, prendi di nuovo le diagonali, ma la matrice è formata in modo diverso:

# | i j k | #

# | B_x B_y B_z | #

# | A_x A_y A_z | #

# vecBoxvecA = (A_zxxB_y-A_yxxB_z) i + (A_x xxB_z-A_z xxBx) j + (A_y xxB_x-A_x xxB_y) k #

Si noti che le sottrazioni vengono capovolte. Questo è ciò che causa la forma 'uguale e opposta'.

# vecBoxvecA = (1xx2-1xx (-3)) i + ((- 1) xx (-3) -1 xx3) j + (1 xx3 - (- 1) xx2) k #

# VecBoxvecA = (2 - (- 3)) i + (3-3) j + (3 - (- 2)) k #

#color (blu) (vecBoxvecA = 5i + 0j + 5k #