Usa a) eb) per dimostrare hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L?

Da qualunque cosa tu stia dicendo lassù, tutto ciò che sembra che dovremmo fare è dimostrarlo #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Sembra che il posto da cui hai ricevuto questa domanda sia confuso sulla definizione di # # HatT_L.

Finiremo per dimostrare che l'uso

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

dà

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

e non #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Se vogliamo che tutto sia coerente, allora se #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, dovrebbe essere quello # hatD, hatx = bb (-1) #. Ho risolto la domanda e l'ho già affrontata.

Dalla prima parte, abbiamo dimostrato che per questa definizione (quella #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Da #f (x_0 - L) # è un eigenstate di # # HatT_L, la forma immediata che viene in mente è un operatore esponenziale # E ^ (LhatD) #. Lo intuiamo #hatD = + ihatp_x // ℏ #e dimostreremo che è vero

Ricordiamo che nella dimostrazione mostrata nella parte 1, avevamo scritto:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

ed è qui che dovremmo usarlo. Tutto ciò che dobbiamo fare è Taylor si espande l'operatore esponenziale e mostra che la prova di cui sopra tiene ancora.

Questo è anche mostrato in dettaglio qui. L'ho ampliato per essere più completo …

# e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = sum_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

Dallo # L # è una costante, possiamo tenerlo fuori dal commutatore. # # Hatx può entrare, non essere dipendente dall'indice. Perciò:

# hatx, e ^ (LhatD) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Ora, lo abbiamo proposto #hatD = ihatp_x // ℏ #e questo avrebbe senso perché sappiamo che:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = cancel (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx)) + iℏf (x) #

così che # hatx, hatp_x = iℏ #. Significherebbe quello finché #hatT_L = e ^ (LhatD) #, possiamo finalmente ottenere una definizione COERENTE in entrambe le parti del problema e ottenere:

#color (blue) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = colore (blu) (1) #

Da questo, espandiamo ulteriormente il commutatore:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Ora, lo sappiamo # hatx, hatp_x #, ma non necessariamente # hatx, hatp_x ^ n #. Puoi convincertelo

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

e quello

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

così che:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {cancella (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - cancella (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Lo riconosciamo # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. Così,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, fornito #n> = 1 #.

Da questo, troviamo:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = sum_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = sum_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

dove se si valuta il #n = 0 # termine, dovresti vedere che va a zero, quindi lo abbiamo omesso. Procedendo, abbiamo:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1) #

Qui stiamo semplicemente cercando di rendere questo aspetto come la funzione esponenziale di nuovo.

# = iℏ ((iL) / ℏ) sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(termini di gruppo)

# = -L sum_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) #

(valuta l'esterno)

# = -L overbrace (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(Se # N # inizia da zero, il # (N-1) #il termine diventa il # N #termine).

Di conseguenza, otteniamo finalmente:

# => colore (blu) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = colore (blu) (- LhatT_L) #

E torniamo di nuovo al commutatore originale, cioè

# hatx, hatT_L = -LhatT_L colore (blu) (sqrt "") #

Infine, dimostriamolo # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n !)) #

Scrivendo esplicitamente questo, possiamo vederlo funzionare:

# = colore (blu) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = colore (blu) (somma_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

e da allora # # HatD si sposta sempre con se stesso, # hatD ^ n, hatD = 0 # e quindi,

# hatT_L, hatD = 0 # #color (blu) (sqrt "") #