Sia S un quadrato dell'area unitaria. Considera qualsiasi quadrilatero che abbia un vertice su ciascun lato di S. Se a, b, c e d denotano le lunghezze dei lati del quadrilatero, prova che 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Permettere # ABCD # essere un quadrato di area unitaria.

Così # AB = BC = CD = DA = 1 # unità.

Permettere # # PQRS essere un quadrilatero che ha un vertice su ciascun lato del quadrato. Qui lascia # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Applicando Pythagoras thorem possiamo scrivere

# A ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = X ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-1/2) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-1/2) ^ 2) #

Ora dal problema che abbiamo

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Quindi

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #