Risposta:
#(-9/14,3/28)#
Spiegazione:
Iniziamo con # Y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Questo non è né nella forma standard né nella forma dei vertici, e preferisco sempre lavorare con una di queste due forme. Quindi, il mio primo passo è convertire quel pasticcio in forma standard. Lo facciamo cambiando l'equazione fino a quando non sembra # Y = ax ^ 2 + bx + c #.
Innanzitutto, ci occupiamo di # (X + 1) ^ 2 #. Lo riscriviamo come # (X + 1) * (x + 1) #e semplifica l'utilizzo della distribuzione, tutto ciò ci fornisce # X ^ 2 + x + x + 1 #, o # X ^ 2 + 2x + 1 #.
Ora abbiamo # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Se semplifichiamo # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, che ci lascia con # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. Ora possiamo combinare termini simili. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # ci da # 7x ^ 2 #, e # 6x + 3x # è uguale a # # 9x. Ora abbiamo # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, che è in forma standard. Non essere troppo comodo, perché ci convertiremo quello in forma di vertice in appena un minuto.
Per risolvere la forma di vertice, completeremo il quadrato. Potremmo anche usare la formula quadratica o il grafico dell'equazione che abbiamo ora, ma dov'è il divertimento in questo? Completare il quadrato è più difficile, ma è un metodo che vale la pena imparare perché è abbastanza veloce, una volta capito. Iniziamo.
Per prima cosa, dobbiamo ottenere # X ^ 2 # da solo (nessun coefficiente ad eccezione del numero #1# permesso). Nel nostro caso, abbiamo bisogno di un fattore a #7# da tutto Questo ci dà # 7 (x ^ 2 + 9 / + 7x 3/7) #. Da qui, dobbiamo prendere il termine medio # (9 / 7x) # e dividi il coefficiente per #2#, che è #9/14#. Quindi abbiamo quadrato quello e noi abbiamo #81/196#. Lo aggiungiamo alla nostra equazione, così come segue: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
ASPETTARE!!! Abbiamo appena inserito un numero casuale nell'equazione! Non possiamo farlo! come possiamo fissare questo? Bene, e se solo … abbiamo sottratto il numero che abbiamo appena aggiunto? Quindi il valore non è cambiato #(81/196-81/196=0)#, quindi non abbiamo infranto alcuna regola, giusto? Ok, facciamolo.
Ora abbiamo # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Ok, stiamo bene adesso. Eppure, dovremmo continuare a semplificare, perché # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # è lungo e macchinoso Così, #-81/196+3/7# è #3/196#e possiamo riscrivere # X ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # come # (X + 9/14) * (x + 9/14) #, o # (X + 9/14) ^ 2 #. Potresti chiederti perché non ho combinato #3/196# con #81/196#. Bene, voglio creare un quadrato perfetto, come # (X + 9/14) ^ 2 #. Questo è in realtà il punto di completamento del quadrato. # X ^ 2 + 9/7 + 3/7 # non è stato calcolabile, quindi ho trovato il numero ((9/2) / 2 ^ 2) che lo rende fattore. Ora abbiamo un quadrato perfetto, con le cose scomode e imperfette attaccate alla fine.
Quindi, ora abbiamo # 7 ((x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. Abbiamo quasi finito, ma possiamo ancora fare ancora una cosa: distribuire il #7# a #3/196#. Questo ci dà # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #e ora abbiamo il nostro vertice! A partire dal # 7 (x + colore (verde) (9/14)) ^ 2color (rosso) (+ 3/28) #, otteniamo entrambi i nostri #color (verde) (x) #-valore e nostro #color (rosso) (y) #-valore. Il nostro vertice è # (colore (arancione) (-) colore (verde) (9/14), colore (rosso) (3/28)) #. Si prega di notare che il segno del #color (verde) (x) # componente è di fronte del segno all'interno dell'equazione.
Per verificare il nostro lavoro, possiamo solo rappresentare graficamente l'equazione e trovare il vertice in questo modo.
grafico {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
Il vertice è #(.643,.107)#, che è la forma decimale arrotondata di #(-9/14, 3/28)#. Avevamo ragione! Ottimo lavoro.
