Se a ^ 3 + b ^ 3 = 8 e a ^ 2 + b ^ 2 = 4 qual è il valore di (a + b)?

Risposta:

Ci sono due possibili valori per la somma, # A + B = 2 # (per # A = 2 # e # B = 0 #) o # A + b = -4 # (per # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}). #

Spiegazione:

Ci sono davvero due incognite, la somma e il prodotto di #un# e # B, # quindi lascia #x = a + b # e #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Due equazioni in due incognite, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Questo è chiamato un cubo depresso, e quelli hanno una soluzione di forma chiusa piuttosto facile come la formula quadratica. Ma piuttosto che toccarlo, proviamo a indovinare una radice secondo il metodo onorato di provare i numeri piccoli. Vediamo # X = 2 # funziona così # (X-2) # è un fattore

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Ora possiamo ulteriori fattori

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Quindi ci sono due possibili valori per la somma, # A + B = 2 # e # A + B = -4. #

La prima risposta corrisponde alla vera soluzione # a = 2, b = 0 # e per simmetria # a = 0, b = 2 #. La seconda risposta corrisponde alla somma di una coppia di coniugati complessi. Sono # a, b = -2 pm i sqrt {2} #. Puoi controllare questa soluzione?

Risposta:

# (a + b) = 2, o, a + b = -4 #

Spiegazione:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (A + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2 bis ter = (a + b) ^ 2-4 #

# => Ab = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Adesso,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (A + b) (a ^ 2-ab + b ^ 2) = 8 #

# => (A + b) (4-ter) = 8 #

# => (A + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (A + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Permettere,

# (A + b) = x #

Così, # => X (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => X (12-x ^ 2) = 16 #

# => X ^ 3-12x + 16 = 0 #

Osservalo #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (X-2) # è un fattore

Adesso, # X ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = X ^ 2 (x-2) + 2x (x-2) -8 (x-2) #, # = (X-2) (x ^ 2 + 2x-8) #, # = (X-2) (x + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, o, x = -4 #.

#:. a + b = 2, o, a + b = -4 #.

Il grafico è qui indicato.

Il valore di #color (rosso) ((a + b) = 2 o, -4. #

Spero che sia d'aiuto…

Grazie…