Quali sono gli asintoti e le discontinuità rimovibili, se presenti, di f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Risposta:

#f (x) # ha un asintoto orizzontale # Y = 0 # e un asintoto verticale # X = 0 #

Spiegazione:

Dato:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• Il dominio del numeratore #sqrt (x) # è # 0, oo) #

• Il dominio del denominatore # e ^ x - 1 # è # (- oo, oo) #

• Il denominatore è zero quando # e ^ x = 1 #, che per valori reali di #X# si verifica solo quando # X = 0 #

Da qui il dominio di #f (x) # è # (0, oo) #

Utilizzando l'espansione della serie di # E ^ x #, noi abbiamo:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (bianco) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (bianco) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (bianco) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Così:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (bianco) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (bianco) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (bianco) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

e:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Così #f (x) # ha un asintoto verticale # X = 0 # e un asintoto orizzontale # Y = 0 #

graph {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6.1, 13.9, -2.92, 7.08}