Risposta:
Si prega di vedere la spiegazione di seguito
Spiegazione:
La funzione è
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3Y + 4 #
I derivati parziali sono
# (DELF) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (DELF) / (dely) = 2y + x-3 #
Permettere # (DELF) / (delx) = 0 # e # (DELF) / (dely) = 0 #
Poi, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(X = -3), (y = 3):} #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
La matrice hessiana è
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (2f del ^) / (dely ^ 2))) #
Il determinante è
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Perciò, Non ci sono punti di sella.
#D (1,1)> 0 # e # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, c'è un minimo locale a #(-3,3)#
Risposta:
Minimo locale: #(-3,3)#
Spiegazione:
Il gruppo di punti che include sia i punti estremi che quelli della sella si trovano quando entrambi # (DELF) / (delx) (x, y) # e # (DELF) / (dely) (x, y) # sono uguali a zero.
assumendo #X# e # Y # sono variabili indipendenti:
# (DELF) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (DELF) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Quindi abbiamo due equazioni simultanee, che fortunatamente capita di essere lineari:
# 2x + y + 3 = 0 #
# X + 2y-3 = 0 #
Dal primo:
# Y = -2x-3 #
Sostituire nel secondo:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Sostituiscilo nel primo:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# Y = 3 #
Quindi c'è un punto in cui le prime derivate diventano uniformemente zero, o un estremo o una sella, a # (X, y) = (- 3,3) #.
Per dedurre quale, dobbiamo calcolare la matrice delle seconde derivate, la matrice hessiana (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) #
# (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (Del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (Del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
così
# (((Del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Tutti i derivati del secondo ordine sono costantemente costanti indipendentemente dai valori di #X# e # Y #, quindi non abbiamo bisogno di calcolare in modo specifico i valori per il punto di interesse.
NB L'ordine di differenziazione non ha importanza per le funzioni con derivate secondarie continue (Teorema di Clairault, applicazione qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), e quindi ci aspettiamo che # (Del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, come vediamo nel nostro risultato specifico sopra.
In questo caso a due variabili, possiamo dedurre il tipo di punto dal determinante della tela di iuta, # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Una forma del test da somministrare è qui riportata:
Vediamo che il determinante è #>0#e così è # (Del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Quindi lo concludiamo #(-3,3)#, il solo punto di derivata zero iniziale, è un minimo locale della funzione.
Come controllo di sanità mentale per una domanda di una funzione monodimensionale, di solito ne postero il grafico, ma Socratic non ha una struttura di tracciatura di superficie o contorno adatta per le funzioni bidimensionali, per quanto posso vedere. Quindi sovrapporrò le due funzioni #f (-3, y) # e #f (x, 3) #, che non caratterizzano per noi l'intero dominio delle funzioni, ma ci mostrerà il minimo tra di loro, che appare come previsto in # Y = 3 # e # x = -3 #, assumendo identico valore di funzione # F = -5 # in ogni caso.
Come #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3Y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
graph {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
