Come si integrano f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) usando le frazioni parziali?

Risposta:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

Spiegazione:

Poiché il denominatore è già calcolato, tutto ciò che dobbiamo fare per frazioni parziali è la risoluzione delle costanti:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Nota che abbiamo bisogno di entrambi #X# e un termine costante sulla maggior parte sinistra poiché il numeratore è sempre di 1 grado inferiore al denominatore.

Potremmo moltiplicarci per il denominatore del lato sinistro, ma sarebbe un'enorme quantità di lavoro, quindi possiamo invece essere intelligenti e utilizzare il metodo di copertura.

Non approfondirò il processo in dettaglio, ma essenzialmente quello che facciamo è scoprire cosa rende il denominatore uguale a zero (nel caso di # C # è # X = 3 #), e collegandolo alla parte sinistra e valutando mentre copre il fattore corrispondente alla costante questo dà:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (testo (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Possiamo fare lo stesso per # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (testo (////))) = 35/51 #

Il metodo di copertura funziona solo per fattori lineari, quindi siamo costretti a risolvere il problema #UN# e # B # utilizzando il metodo tradizionale e moltiplicando per il denominatore della parte sinistra:

# 3x ^ 2-x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

Se moltiplichiamo tutte le parentesi e identifichiamo tutti i coefficienti dei vari #X# e termini costanti, possiamo scoprire i valori di #UN# e # B #. È un calcolo piuttosto lungo, quindi lascerò un link per chiunque sia interessato:

clicca qui

# A = -79/561 #

# B = -94/561 #

Questo dà che il nostro integrale è:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

I primi due possono essere risolti usando sostituzioni u piuttosto semplici dei denominatori:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Possiamo dividere l'integrale rimanente in due:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Chiamerò la sinistra 1 integrale e la destra integrale 2.

Integrale 1

Possiamo risolvere questo integrale con una sostituzione u di # U = x ^ 2 + 2 #. Il derivato è # # 2x, quindi dividiamo # # 2x integrare rispetto a # U #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integrale 2

Vogliamo ottenere questo integrale nella forma per # Tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Dark Domestic Se presentiamo una hire con # X = sqrt2u #, saremo in grado di trasformare il nostro integrale in questa forma. Integrare rispetto a # U #, dobbiamo moltiplicare per # # Sqrt2 (dal momento che abbiamo preso la derivata rispetto a # U # invece di #X#):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Completando l'integrale originale

Ora che sappiamo a cosa integrano Integral 1 e Integral 2, possiamo completare l'integrale originale per ottenere la nostra risposta finale:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #