Risposta:
#3#
Spiegazione:
Permettere
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
dove costringiamo la nostra soluzione ad essere positiva poiché stiamo prendendo solo la radice quadrata positiva e.e. #x> = 0 #. Squadrando entrambi i lati che abbiamo
# X ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => X ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Dove questa volta vincoliamo il lato sinistro per essere positivi, dal momento che vogliamo solo la radice quadrata positiva i.e.
# X ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #
dove abbiamo eliminato la possibilità #x <= - sqrt (7) # usando il nostro primo vincolo.
Di nuovo in squadra su entrambi i lati
# (X ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
L'espressione nelle radici quadrate ripetute è l'espressione originale di #X#, perciò
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
o
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Le soluzioni di prova di questa equazione sono # x = -2 # e # X = + 3 # che si traduce nella seguente fattorizzazione
# (X + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Usando la formula quadratica sul terzo fattore # (X ^ 2 + x-7) = 0 # ci dà altre due radici:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2.19 "e" -3.19 #
Le quattro radici del polinomio sono quindi #-3.19…, -2, 2.19…, # e #3#. Solo uno di questi valori soddisfa il nostro vincolo #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #, perciò
# X = 3 #
Risposta:
Un altro modo
Spiegazione:
Mi piace discutere un modo complicato per avere una soluzione a prima vista sul problema delle radici quadrate ripetute come la seguente
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
dove # r # appartiene alla seguente serie
#3,7,13,21,31…………#, il cui termine generale è dato da
# M ^ 2-m + 1 # dove # m epsilon N # e #m> 1 #
TRUCCO
Se 1 è sottratto dal numero indicato # M ^ 2-m + 1 # il numero risultante diventa # M ^ 2-m # che è #m (m-1) # e che non è altro che il prodotto di due numeri consecutivi e uno più grande di questi due sarà la soluzione unica del problema.
quando r = # M ^ 2-m + 1 # il fattore di # M ^ 2-m + 1-1 # = # (M-1) m # e m è la risposta
quando r = 3 il fattore di (3-1) = 2 = 1.2 e 2 è la risposta
quando r = 7 il fattore di (7-1) = 6 = 2.3 e 3 è la risposta
e così via…….
Spiegazione
presa
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Squadrando entrambi i lati
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Di nuovo Squadrando entrambi i lati
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
mettendo r = # M ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
se mettiamo x = m nel LHS di questa equazione, LHS diventa
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (cancella (m ^ 2) - cancella (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (M-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
l'equazione è soddisfatta.
Quindi m è la risposta
mettiamo
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt …. #
Possiamo facilmente vederlo
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Quindi risolviamo l'equazione:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Questa non è un'equazione banale da risolvere. Una delle altre persone che hanno risposto alla domanda ha fatto riferimento alla soluzione 3. Se ci provi, vedrai che è vero.
