Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) nell'intervallo x, y in [-pi, pi]?

Risposta:

Spiegazione:

Abbiamo:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Passaggio 2: identificare i punti critici

Un punto critico si verifica in una soluzione simultanea di

# f_x = f_y = 0 iff (partial f) / (partial x) = (partial f) / (partial y) = 0 #

cioè, quando:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # contemporaneamente

Considera l'equazione A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Quindi abbiamo due soluzioni:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Ora usiamo Eq B per trovare le coordinate corrispondenti:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x in RR # (grondaie)

Il che ci dà i seguenti punti critici:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 punti critici)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 punti critici)

# (alfa, 0) AA alfa in RR # (linea di gronda)

# (alpha, + -pi) AA alpha in RR # (2 linee di gronda)

Considera l'equazione B

# -6sinxsin2y = 0 #

Quindi abbiamo due soluzioni:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Ora usiamo Eq A per trovare la coordinata corrispondente @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (ripetizioni di sopra)

# y = 0 => x in RR # (ripetere sopra)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (ripetizioni di sopra)

Il che non ci fornisce ulteriori punti critici:

Passaggio 3: classificare i punti critici

Per classificare i punti critici eseguiamo un test simile a quello di un calcolo variabile usando le seconde derivate parziali e la matrice hessiana.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parziale ^ 2 f) / (parziale x ^ 2), (parziale ^ 2 f) / (parziale x parziale y)), ((parziale ^ 2 f) / (parziale y parziale x), (parziale ^ 2 f) / (parziale y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Quindi a seconda del valore di #Delta#:

# {: (Delta> 0, "C'è il massimo se" f_ (xx) <0), (, "e un minimo se" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "c'è un punto di sella"), (Delta = 0, "Sono necessarie ulteriori analisi"):} #

Usando macro personalizzate excel i valori delle funzioni insieme ai valori derivati parziali sono calcolati come segue:

Ecco una trama della funzione

E l'attacco con i punti critici (e le grondaie)