Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) nell'intervallo x, y in [-pi, pi]?

Risposta:

Spiegazione:

Abbiamo:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

Passaggio 2: identificare i punti critici

Un punto critico si verifica in una soluzione simultanea di

# f_x = f_y = 0 iff (partial f) / (partial x) = (partial f) / (partial y) = 0 #

cioè, quando:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # contemporaneamente

Considera l'equazione A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Quindi abbiamo due soluzioni:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Ora usiamo Eq B per trovare le coordinate corrispondenti:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x in RR # (grondaie)

Il che ci dà i seguenti punti critici:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 punti critici)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 punti critici)

# (alfa, 0) AA alfa in RR # (linea di gronda)

# (alpha, + -pi) AA alpha in RR # (2 linee di gronda)

Considera l'equazione B

# -6sinxsin2y = 0 #

Quindi abbiamo due soluzioni:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Ora usiamo Eq A per trovare la coordinata corrispondente @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (ripetizioni di sopra)

# y = 0 => x in RR # (ripetere sopra)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# => x = + - pi / 2 # (ripetizioni di sopra)

Il che non ci fornisce ulteriori punti critici:

Passaggio 3: classificare i punti critici

Per classificare i punti critici eseguiamo un test simile a quello di un calcolo variabile usando le seconde derivate parziali e la matrice hessiana.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parziale ^ 2 f) / (parziale x ^ 2), (parziale ^ 2 f) / (parziale x parziale y)), ((parziale ^ 2 f) / (parziale y parziale x), (parziale ^ 2 f) / (parziale y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Quindi a seconda del valore di #Delta#:

# {: (Delta> 0, "C'è il massimo se" f_ (xx) <0), (, "e un minimo se" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "c'è un punto di sella"), (Delta = 0, "Sono necessarie ulteriori analisi"):} #

Usando macro personalizzate excel i valori delle funzioni insieme ai valori derivati parziali sono calcolati come segue:

Ecco una trama della funzione

E l'attacco con i punti critici (e le grondaie)

Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = x ^ 3y + 36x ^ 2 - 8y?

Vedi la risposta qui sotto: Crediti: Grazie a Graphing Calculator 3D (http://www.runiter.com/graphing-calculator/) che ha fornito il software per tracciare la funzione 3D con i risultati.

Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)?

Abbiamo: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) Passo 1 - Trova i derivati parziali Calcoliamo la derivata parziale di una funzione di due o più variabili differenziando una variabile, mentre le altre variabili sono considerate costanti. Quindi: I primi derivati sono: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - ((x + y + 1) ^ 2) (2x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (x ^ 2 + y ^ 2 + 1- x ^ 2-xy-x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 f_y = { (x ^ 2 + y ^ 2 +

Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = 6 sin x sin y sull'intervallo x, y in [-pi, pi]?

X = pi / 2 ey = pi x = pi / 2 e y = -pi x = -pi / 2 e y = pi x = -pi / 2 e y = -pi x = pi e y = pi / 2 x = pi ey = -pi / 2 x = -pi e y = pi / 2 x = -pi e y = -pi / 2 Per trovare i punti critici di una funzione a 2 variabili, devi calcolare il gradiente, che è un vettore che contiene le derivate rispetto a ciascuna variabile: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Quindi, abbiamo d / dx f (x, y) = 6cos (x ) sin (y) e analogamente d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Per trovare i punti critici, il gradiente deve essere il vettore zero (0,0), che significa risolvere il sistema {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):