Qual è la radice cubica di (sqrt3 -i)?

Vorrei iniziare convertendo il numero in forma trigonometrica:

# Z = sqrt (3) -i = 2 cos (pi / 6) + isin (pi / 6) #

La radice cubica di questo numero può essere scritta come:

# Z ^ (1/3) #

Ora con questo in mente io uso la formula per l'ennesima potenza di un numero complesso in forma trigonometrica:

# Z ^ n = r ^ n cos (ntheta) + ISIN (ntheta) # dando:

# Z ^ (1/3) = 2 ^ (1/3) cos (pi / 6 * 1/3) + isin (-pi / 6 * 1/3) = #

# = 2 ^ (1/3) cos (pi / 18) + ISIN (pi / 18) #

Quale in rettangolare è: # # 4.2-0.7i

Non posso essere completamente d'accordo con la risposta di Gió, perché è incompleta e anche (formalmente) sbagliata.

L'errore formale è nell'uso di La formula di De Moivre con esponenti non interi. La formula di De Moivre può essere applicata solo agli esponenti interi. Maggiori dettagli su questo nella pagina di Wikipedia

Lì troverai un'estensione parziale della formula, da gestire # N #-th radici (comporta un parametro aggiuntivo #K#): Se # z = r (cos theta + i sin theta) #, poi

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos ((theta + 2 k pi) / n) + i sin ((theta + 2 k pi) / n)) # dove # k = 0, …, n-1 #.

Uno (e in un certo senso il) La proprietà molto fondamentale dei numeri complessi è quella # N #-th radici hanno … # N # radici (soluzioni)! Il parametro #K# (che varia tra #0# e # N-1 #, così # N # valori) ci consente di sintetizzarli in un'unica formula.

Quindi le radici cubiche hanno tre soluzioni e trovare solo una di esse non è sufficiente: è solo "#1/3# della soluzione ".

Scriverò la mia proposta di soluzione di seguito. I commenti sono ben accetti!

Come Gió ha giustamente suggerito, il primo passo è esprimere # Z = sqrt {3} -i # nella sua forma trigonometrica #r (cos theta + i sin theta) #. Quando si tratta di radici, la forma trigonometrica è (quasi) sempre uno strumento utile (insieme a quello esponenziale). Ottieni:

# R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {3 + 1} = sqrt {4} = 2 #

# theta = arctan (y / x) = arctan (- 1 / sqrt {3}) = - pi / 6 #

Così # z = r (cos theta + i sin theta) = 2 (cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)) #

Ora vuoi calcolare le radici. Con la formula riportata sopra, otteniamo:

# z ^ {1/3} = r ^ {1/3} (cos ((theta + 2 k pi) / 3) + i sin ((theta + 2 k pi) / 3)) = 2 ^ {1 / 3} (cos ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 k pi) / 3)) #

dove # k = 0, 1, 2 #. Quindi ci sono tre diversi valori di #K# (#0#, #1# e #2#) che danno vita a tre diverse radici complesse di # Z #:

# z_0 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 0) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 0) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-pi / 18) + i sin (-pi / 18)) #

# z_1 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 2 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 2 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-11/18 pi) + i sin (-11/18 pi)) #

# z_2 = 2 ^ {1/3} (cos ((-pi / 6 + 4 pi) / 3) + i sin ((-pi / 6 + 4 pi) / 3)) = 2 ^ {1/3} (cos (-23/18 pi) + peccato (-23/18 pi)) #

# # Z_0, # # Z_1 e # # Z_2 sono le tre soluzioni.

L'interpretazione geometrica della formula per il # N # le radici sono molto utili per disegnare le soluzioni nel piano complesso. Anche la trama indica molto bene le proprietà della formula.

Prima di tutto, possiamo notare che tutte le soluzioni hanno la stessa distanza # R ^ {1 / n} # (nel nostro esempio #2^{1/3}#) dall'origine. Quindi si trovano tutti su una circonferenza di raggio # R ^ {1 / n} #. Ora dobbiamo sottolineare dove metterli su questa circonferenza. Possiamo riscrivere gli argomenti di seno e coseno nel modo seguente:

# z ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} (cos (theta / n + (2pi) / n k) + i sin (theta / n + (2pi) / n k)) #

La "prima" radice corrisponde a # K = 0 #:

# z_0 = r ^ {1 / n} (cos (theta / n) + i sin (theta / n)) #

Tutte le altre radici possono essere ottenute da ciò aggiungendo l'angolo # (2pi) / n # ricorsivamente all'angolo # Theta / n # relativo alla prima radice # # Z_0. Quindi ci stiamo muovendo # # Z_0 sulla circonferenza con una rotazione di # (2pi) / n # radianti (# (360 °) / n #). Quindi i punti si trovano sui vertici di un normale # N #Gon. Dato uno di loro, possiamo trovare gli altri.

Nel nostro caso:

dove è l'angolo blu # Theta / n = -pi / 18 # e quello magenta è # (2pi) / n = 2/3 pi #.