Se vogliamo approssimare il valore di cos 20 ° con un polinomio, quale grado minimo deve essere il polinomio in modo che l'errore sia inferiore a 10 ^ -3?

Risposta:

#0#

Spiegazione:

# "Questa domanda è mal posta come" #

#0.93969#

# "è un polinomio di grado 0 che fa il lavoro." #

# "Una calcolatrice calcola il valore di cos (x) attraverso Taylor" #

#"serie."#

# "La serie di Taylor di cos (x) è:" #

# 1 - x ^ 2 / (2!) + X ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + … #

# "Quello che devi sapere è che l'angolo che inserisci in questa serie" #

# "deve essere in radianti, quindi 20 ° =" pi / 9 = 0.349 … "rad." #

# "Per avere una serie convergente veloce | x | deve essere inferiore a 1," #

# "di preferenza inferiore a 0,5 pari." #

# "Abbiamo fortuna come questo è il caso. Nell'altro caso vorremmo" #

# "Devono usare identità goniometriche per rendere il valore più piccolo." #

#"Noi dobbiamo avere:"#

# (pi / 9) ^ n / (n!) <0,001 ", n il più piccolo possibile" #

# => n = 4 #

# "Questo è il termine dell'errore, quindi" x ^ 4 / (4!) "Non deve essere" #

# "valutato anche, quindi abbiamo bisogno solo dei primi due termini:" #

# 1 - x ^ 2/2 = 1 - (pi / 9) ^ 2/2 = 0.93908 #

# "Chiaramente, l'errore è inferiore a" 10 ^ -3 "o" 0,001 "." #

# "Potresti chiederti come otteniamo il valore di" pi "." #

# "Questo può essere fatto, tra gli altri, attraverso la serie di Taylor di" #

# "arctan (x) as arctan (1) =" pi / 4 => pi = 4 * arctan (1) "." #

# "Ma ci sono altre serie più veloci (meglio convergenti) in" #

# "calcola" pi "." #