Quali sono le prove di divisibilità di vari numeri?

Ci sono molti test di divisibilità. Eccone alcuni, insieme a come possono essere derivati.

• Un numero intero è divisibile per #2# se la cifra finale è pari.

• Un numero intero è divisibile per #3# se la somma delle sue cifre è divisibile per 3.

• Un numero intero è divisibile per #4# se il numero intero formato dalle ultime due cifre è divisibile per 4.

• Un numero intero è divisibile per #5# se la cifra finale è 5 o 0.

• Un numero intero è divisibile per #6# se è divisibile per 2 e per 3.

• Un numero intero è divisibile per #7# se sottraendo il doppio dell'ultima cifra dal numero intero formato rimuovendo l'ultima cifra è un multiplo di 7.

• Un numero intero è divisibile per #8# se il numero intero formato dalle ultime tre cifre è divisibile per 8 (questo può essere reso più semplice notando che la regola è la stessa di 4s se la cifra di centinaia è pari, e il contrario altrimenti)

• Un numero intero è divisibile per #9# se la somma delle cifre è divisibile per 9.

• Un numero intero è divisibile per #10# se l'ultima cifra è #0#

Per questi e altro, dai un'occhiata alla pagina di Wikipedia per le regole di divisibilità.

Ora, ci si potrebbe chiedere come arrivare a queste regole, o almeno mostrare che in realtà funzioneranno. Un modo per farlo è con un tipo di matematica chiamata aritmetica modulare.

Nell'aritmetica modulare, selezioniamo un numero intero # N # come il modulo e quindi tratta ogni altro intero come se fosse modulo congruente # N # al suo resto quando diviso per # N #. Un modo semplice per pensare a questo è che puoi aggiungere o sottrarre # N # senza modificare il valore di un intero modulo n. Questo è lo stesso di come, su un orologio analogico, si aggiungono dodici ore di risultati nello stesso tempo. L'aggiunta di ore su un orologio è un modulo aggiuntivo #12#.

Ciò che rende l'aritmetica modulare molto utile nel determinare le regole di divisibilità è quella per qualunque numero intero #un# e numero intero positivo # B #possiamo dirlo #un# è divisibile per # B # se e solo se

# a- = 0 "(mod b)" # (#un# è congruente a #0# modulo # B #).

Usiamo questo per vedere perché la regola di divisibilità per #3# lavori. Lo faremo usando un esempio che dovrebbe mostrare il concetto generale. In questo esempio, vedremo perché #53412# è divisibile per #3#. Ricorda che aggiungere o sottrarre #3# non cambierà il valore di un modulo intero #3#.

#53412# è divisibile per #3# se e solo se # 53412 - = 0 "(mod 3)" #

Ma anche, perché #10 -3 -3 -3 = 1#, noi abbiamo # 10 - = 1 "(mod 3)" #

Così:

# 53412 - = 5 * 10 ^ 5 + 3 * 10 ^ 4 + 4 * 10 ^ 3 + 1 * 10 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

# - = 5 * 1 ^ 5 + 3 * 1 ^ 4 + 4 * 1 ^ 3 + 1 * 1 ^ 2 + 2 "(mod 3)" #

#color (rosso) (- = 5 + 3 + 4 + 1 + 2 "(mod 3)") #

# - = 3 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 * 5 "(mod 3)" #

# - = 0 "(mod 3)" #

così #53412# è divisibile per #3#. Il passo in rosso dimostra perché possiamo semplicemente sommare le cifre e controllare che invece di cercare di dividere il numero originale per #3#.