Come trovi gli extrema per g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

Risposta:

#G (x) # non ha un massimo e un minimo globale e locale in # x = -1 #

Spiegazione:

Nota che:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

Quindi la funzione

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

è definito per ogni #x in RR #.

Inoltre come #f (y) = sqrty # è una funzione crescente monotona, quindi qualsiasi estremum per #G (x) # è anche un estremo per:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Ma questo è un polinomio di secondo ordine con un coefficiente positivo principale, quindi non ha un massimo e un minimo locale.

A partire dal #(1)# possiamo facilmente vedere che:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

e:

# X + 1 = 0 #

solo quando # x = -1 #, poi:

#f (x)> = 4 #

e

#f (x) = 4 #

solo per # x = -1 #.

Di conseguenza:

#g (x)> = 2 #

e:

#g (x) = 2 #

solo per # x = -1 #.

Possiamo concludere che #G (x) # non ha un massimo e un minimo globale e locale in # x = -1 #

#G (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, #X##nel## RR #

Abbiamo bisogno # X ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_G = RR #

#AA##X##nel## RR #:

#G '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (X + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#G '(x) = 0 # #<=># # (X = -1) #

• Per #x <-1 # noi abbiamo #G '(x) <0 # così # G # sta diminuendo rigorosamente in # (- oo, -1 #

• Per #x> ##-1# noi abbiamo #G '(x)> 0 # così # G # è strettamente crescente in # - 1, + oo) #

Quindi #G (x)> = g (-1) = 2> 0 #, #AA##X##nel## RR #

Di conseguenza # G # ha un minimo globale a # X_0 = -1 #, #G (-1) = 2 #