Come trovi gli asintoti di y = (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3))?

Risposta:

Verticale

# X = 1 #

# X = 3 #

Orizzontale

# X = 1 # (per entrambi # + - oo #)

Obliquo

Non esistere

Spiegazione:

Permettere # Y = f (x) #

Asintoti verticali

Trova i limiti della funzione in quanto tende ai limiti del suo dominio tranne l'infinito. Se il loro risultato è infinito, allora #X# la linea è un asintoto. Qui, il dominio è:

#x in (-oo, 1) uu (1,3) uu (3, + oo) #

Quindi il 4 possibile asintoti verticali sono:

#lim_ (X-> 1 ^ -) f (x) #

#lim_ (X-> 1 ^ +) f (x) #

#lim_ (X-> 3 ^ -) f (x) #

#lim_ (X-> 3 ^ +) f (x) #

Asintoto # X-> 1 ^ - #

#lim_ (x-> 1 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ - * (- 2)) = #

# = - 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = 4 / (0 * 2) = 4/0 = + oo # Asymptote verticale per # X = 1 #

Nota: per # x-1 # da #X# è leggermente inferiore a 1, il risultato sarà qualcosa di leggermente inferiore a 0, quindi il segno sarà negativo, quindi la nota #0^-# che più tardi si traduce in un segno negativo.

Conferma per asintoto # X-> 1 ^ + #

#lim_ (x-> 1 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 1 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 2 ^ 2 / (0 ^ + * (- 2)) = #

# = 2 ^ 2 / (0 * (- 2)) = - 4 / (0 * 2) = - 4/0 = -oo # Confermato

Asintoto # X-> 3 ^ - #

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ -) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ -) = #

# = - 3 ^ 2 / (2 * 0) = - 9/0 = -oo # Asymptote verticale per # X = 3 #

Conferma per asintoto # X-> 3 ^ + #

#lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = 3 ^ 2 / (2 * 0 ^ +) = #

# = 3 ^ 2 / (2 * 0) = 9/0 = + oo # Confermato

Asintoti orizzontali

Trova entrambi i limiti come tende la funzione # + - oo #

Meno infinito #x -> - oo #

#lim_ (x -> - oo) f (x) = lim_ (x -> - oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> - oo) (x ^ 2 (1 + 2 / + 1 x / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> - oo) (annullare (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (annulla (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> - oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asintoto orizzontale per # Y = 1 #

Più infinito #x -> + oo #

#lim_ (x -> + oo) f (x) = lim_ (x -> + oo) (x + 1) ^ 2 / ((x-1) (x-3)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 + 2x + 1) / (x ^ 2-4x-3) = lim_ (x -> + oo) (x ^ 2 (1 + 2 / + 1 x / x ^ 2)) / (x ^ 2 (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = #

# = Lim_ (x -> + oo) (annullare (x ^ 2) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2)) / (annulla (x ^ 2) (1-4 / x-3 / x ^ 2)) = lim_ (x -> + oo) (1 + 2 / x + 1 / x ^ 2) / (1-4 / x-3 / x ^ 2) = #

#=(1+0+0)/(1-0-0)=1# Asintoto orizzontale per # Y = 1 #

Nota: si dà il caso che questa funzione abbia un orizzontale comune per entrambi # # -Oo e # + Oo #. Dovresti sempre controllare entrambi.

Asintoti obliqui

Devi prima trovare entrambi i limiti:

#lim_ (x -> + - oo) f (x) / x #

Per ognuno, se questo limite è un numero reale, allora esiste l'asintoto e il limite è la sua inclinazione. Il # Y # l'intercetta di ciascuno è il limite:

#lim_ (x -> + - oo) (f (x) -m * x) #

Tuttavia, per salvarci il problema, puoi usare alcune "conoscenze" di funzione per evitare questo. Poiché sappiamo #f (x) # ha asintoto orizzontale per entrambi # + - oo # l'unico modo di avere un obliquo è avere un'altra linea come #x -> + - oo #. Però, #f (x) # è un #1-1# funzione quindi non può essere due # Y # valori per uno #X#quindi una seconda linea è impossibile, quindi è impossibile avere asintoti obliqui.

Come trovi gli asintoti verticali di f (x) = tan (πx)?

Gli asintoti verticali si verificano ogni volta che x = k + 1/2, kinZZ. Gli asintoti verticali della funzione tangente e i valori di x per i quali non è definito. Sappiamo che tan (theta) è indefinito ogni volta che theta = (k + 1/2) pi, kinZZ. Pertanto, tan (pix) non è definito ogniqualvolta pix = (k + 1/2) pi, kinZZ o x = k + 1/2, kinZZ. Quindi, gli asintoti verticali sono x = k + 1/2, kinZZ. Puoi vedere più chiaramente in questo grafico: grafico {(y-tan (pix)) = 0 [-10, 10, -5, 5]}

Come trovi gli asintoti per (x-3) / (x-2)?

Gli asintoti verticali si verificano quando il denominatore della funzione razionale è 0. In questa domanda ciò si verifica quando x - 2 = 0 cioè x = 2 [Gli asintoti orizzontali possono essere trovati quando il grado del numeratore e il grado del denominatore sono uguali . ] Qui sono entrambi di 1 ° grado e quindi sono uguali. L'asintoto orizzontale si trova prendendo il rapporto dei coefficienti principali. quindi y = 1/1 = 1

Come trovi gli asintoti di y = x / (x-6)?

Gli asintoti sono y = 1 e x = 6 Per trovare l'asintoto verticale, abbiamo solo bisogno di prendere nota del valore avvicinato da x quando y è fatto per aumentare positivamente o negativamente mentre y è fatto per avvicinarsi + oo, il valore di (x -6) si avvicina a zero e cioè quando x si avvicina a +6. Pertanto, x = 6 è un asintoto verticale. Allo stesso modo, per trovare l'asintoto orizzontale, abbiamo solo bisogno di prendere nota del valore avvicinato da y quando x è fatto per aumentare positivamente o negativamente quando x è fatto per avvicinarsi a + oo, il valore di y si avvicina