Qual è l'equazione della normale linea di f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x in x = 7?

Risposta:

# Y = 1 / 532x-2.009,013 #

Spiegazione:

La linea normale in un punto è la linea perpendicolare alla linea tangente in quel punto. Quando risolviamo problemi di questo tipo, troviamo la pendenza della linea tangente usando la derivata, usiamo quella per trovare la pendenza della linea normale e usiamo un punto dalla funzione per trovare l'equazione di linea normale.

Passaggio 1: Pendenza della linea tangente

Tutto ciò che facciamo qui è prendere la derivata della funzione e valutarla a # X = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

Ciò significa che la pendenza della linea tangente a # X = 7 # è -532.

Passaggio 2: Pendenza della linea normale

L'inclinazione della linea normale è semplicemente l'opposto opposto della pendenza della linea tangente (perché questi due sono perpendicolari). Quindi capovolgiamo -532 e lo rendiamo positivo #1/532# come la pendenza della linea normale.

Fase finale: trovare l'equazione

Le equazioni della linea normale hanno la forma # Y = mx + b #, dove # Y # e #X# sono punti sulla linea, # M # è la pendenza, e # B # è il # Y #-intercettare. Abbiamo la pendenza, # M #, che è quello che abbiamo trovato nel passaggio due: #1/532#. I punti #X# e # Y # può essere facilmente trovato sostituendo # X = 7 # nell'equazione e risolvendo per # Y #:

# Y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Ora possiamo usare tutte queste informazioni per trovare # B #, il # Y #-intercettare:

# Y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b #

# -2009 = 7/532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Possiamo approssimarlo a -2009.013, o se lo volessimo davvero, potremmo approssimarlo anche a -2009.

L'equazione della linea normale è quindi # Y = 1 / 532x-2.009,013 #.