T_n (x) è il polinomio di Chebyshev di grado n. FCF cosh_ (cf) (T_n (x); T_n (x)) = cosh (T_n (x) + (T_n (x)) / cosh (T_n (x) + ...)), x> = 1. Come si dimostra che il valore 18-sd di questo FCF per n = 2, x = 1.25 è # 6.00560689395441650?

Risposta:

Vedi la spiegazione e i grafici Super Socratic, per questo complicato FCF

Spiegazione:

y è un valore coseno iperbolico, e così, #abs y> = 1 # e il FCF

il grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

# T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

Il FCF è generato da

# Y = cosh (T_2 (x) (1 + 1 / y)) #

Un analogo discreto per approssimare y è la differenza non lineare

equazione

# Y_n = cosh ((2x ^ 2-1) (1 + 1 / y_ (n-1))) #.

Qui, x = 1,25.

Fare 37 iterazioni, con starter # y_0 = cosh (1) = 1.54308.. #, lunga precisione 18-sd y = 18-sd

# y_37 = 6.00560689395441650 #

con # Deltay_36 = y_37-y_36 = 0 #, per questa precisione.

grafico {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) (x-1,25) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-.001) = 0 -2 2 0 10)}}

Grafico per 6-sd in y (1,25) = 6,00561:

grafico {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-. 001) = 0 1.2499998 1.2500001 6.0056 6.00561}

Mi aspetto applicazioni di questo tipo di FCF, nel computer

approssimazioni.

Osserva che, nonostante sia una funzione uniforme, nel mezzo, il

il grafico è assente e questa è discontinuità.