Quale tipo di sezione conica ha l'equazione 9y ^ 2 - x ^ 2 - 4x + 54y + 68 = 0?

# 9Y ^ 2-x ^ 2-4x + 54y + 68 = 0 # avrà un'iperbole per il suo grafico.

Come lo so? Solo un rapido controllo dei coefficienti sul # X ^ 2 # e il # Y ^ 2 # i termini diranno …

1) se i coefficienti sono entrambi lo stesso numero e lo stesso segno, la figura sarà un cerchio.

2) se i coefficienti sono numeri diversi ma lo stesso segno, la figura sarà un'ellisse.

3) se i coefficienti sono di segno opposti, il grafico sarà un'iperbole.

Risolviamolo: # -1 (x ^ 2 + 4x) + 9 (y ^ 2 + 6y) = -68 #

Si noti che ho già calcolato i coefficienti principali e ho raggruppato i termini in cui entrambi hanno la stessa variabile.

# -1 (x ^ 2 + 4x + 4) +9 (y ^ 2 + 6y + 9) = -68 + -1 (4) + 9 (9) #

In questo passaggio, ho completato il quadrato aggiungendo 4 e 9 all'interno delle parentesi, ma poi aggiunto all'altro lato, quei numeri moltiplicati per i numeri fattorizzati -1 e 9.

# -1 (x + 2) ^ 2 + 9 (y + 3) ^ 2 = 9 # Riscrivi in forme fattorizzate a sinistra.

# -1 (x + 2) ^ 2/9 + (y + 3) ^ 2/1 = 1 # che sembra davvero imbarazzante … quindi cambierò l'ordine e lo renderò simile alla sottrazione:

# (y + 3) ^ 2- (x + 2) / 9 = 1 #

Questo è quello che volevo vedere; Posso dire qual è il centro dell'iperbole (-2, -3), quanto lontano spostarci dal centro per arrivare ai vertici (su e giù 1 unità poiché il termine y è diviso per 1) e la pendenza degli asintoti (#+-1/3#). La "piattezza" di questa pendenza, oltre all'apertura verso l'alto e verso il basso delle curve, renderà questo grafico abbastanza aperto.