Qual è l'ortocentro di un triangolo con angoli a (9, 7), (4, 4) e (8, 6) #?

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Chiameremo i vertici # A = (4,4) #, # B = (9,7) # e # C = (8,6) #.

Abbiamo bisogno di trovare due equazioni che sono perpendicolari a due lati e passano attraverso due dei vertici. Possiamo trovare la pendenza di due dei lati e di conseguenza la pendenza delle due linee perpendicolari.

Pendenza di AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Pendenza perpendicolare a questo:

#-5/3#

Questo deve passare attraverso il vertice C, quindi l'equazione della linea è:

# Y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Pendio di BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Pendenza perpendicolare a questo:

#-1#

Questo deve passare attraverso il vertice A, quindi l'equazione della linea è:

# Y-4 = - (x-4) #, # Y = -x + 8 # 2

Dove 1 e 2 si intersecano è l'ortocentro.

Risolvendo 1 e 2 contemporaneamente:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Usando 2:

# Y = -17 + 8 = -9 #

orthocenter:

#(17, -9)#

Poiché il triangolo è ottuso, l'ortocentro è fuori dal triangolo. questo può essere visto se estendi le linee di altitudine fino a quando non si incrociano.

Risposta:

orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

circumcenter

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Spiegazione:

orthocenter

Dato # p_1, p_2, p_3 # e

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # così

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Questi vettori sono facilmente ottenibili, per esempio

# p_1 = (x_1, y_1) # e # p_2 = (x_2, y_2) # e poi

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Ora abbiamo

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Queste tre linee si intersecano all'ortocentro del triangolo

scelta # L_1, L_2 # noi abbiamo

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # o

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

dando le equazioni

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Ora risolvendo per # Lambda_1, lambda_2 # noi abbiamo

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

e poi

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

circumcenter

L'equazione della circonferenza è data da

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

ora se # {p_1, p_2, p_3} in C # noi abbiamo

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

sottraendo il primo dal secondo

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

sottraendo il primo dal terzo

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2 (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

dando il sistema di equazioni

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Ora sostituendo i valori dati che otteniamo

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Allegata una trama che mostra l'ortocentro (rosso) e il centro circumcentrale (blu).