Quali sono gli asintoti e le buche, se presenti, di f (x) = (1-x) ^ 2 / (x ^ 2-1)?

Risposta:

#f (x) # ha un asintoto orizzontale # Y = 1 #, un asintoto verticale # x = -1 # e un buco a # X = 1 #.

Spiegazione:

#f (x) = (1-x) ^ 2 / (x ^ 2-1) = (x-1) ^ 2 / ((x-1) (x + 1)) = (x-1) / (x + 1) = (x + 1-2) / (x + 1) #

# = 1-2 / (x + 1) #

con esclusione #x! = 1 #

Come #x -> + - oo # il termine # 2 / (x + 1) -> 0 #, così #f (x) # ha un asintoto orizzontale #y = 1 #.

quando # x = -1 # il denominatore di #f (x) # è zero, ma il numeratore è diverso da zero. Così #f (x) # ha un asintoto verticale # x = -1 #.

quando #x = 1 # sia il numeratore che il denominatore di #f (x) # sono zero, quindi #f (x) # è indefinito e ha un buco in # X = 1 #. Nota che #lim_ (x-> 1) f (x) = 0 # è definito. Quindi questa è una singolarità rimovibile.