Cosa significa -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) uguali?

Risposta:

Problema insolvibile

Spiegazione:

Non ci sono archi che il loro coseno sia uguale a 2 e 3.

Da un punto di vista analitico, il # # ARccOS la funzione è definita solo su #-1,1# così #arccos (2) # & #arccos (3) # non esiste

Risposta:

Davvero # cos # e #peccato# questo non ha soluzioni, ma come funzioni dei numeri complessi troviamo:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Spiegazione:

Come funzioni di valore reale di valori reali di #X#, le funzioni #cos (x) # e #sin (x) # prendi solo i valori nell'intervallo #-1, 1#, così #arccos (2) # e #arccos (3) # sono indefiniti.

Tuttavia, è possibile estendere la definizione di queste funzioni alle funzioni complesse #cos (z) # e #sin (z) # come segue:

Iniziare con:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

possiamo dedurre:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Quindi possiamo definire:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

per qualsiasi numero complesso # Z #.

È possibile trovare più valori di # Z # che soddisfano #cos (z) = 2 # o #cos (z) = 3 #, quindi potrebbero esserci alcune scelte da fare per definire il valore principale #arccos (2) # o #arccos (3) #.

Per trovare candidati adatti, risolvi # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, eccetera.

Tuttavia, si noti che l'identità # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # vale per qualsiasi numero complesso # Z #, quindi possiamo dedurre:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Spero che sia possibile definire il valore principale in modo tale che #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # piuttosto che # -sqrt (3) i #.

In ogni caso, #cos (arccos (3)) = 3 # per definizione.

Mettendo tutto questo insieme, troviamo:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #