Qual è l'area racchiusa da 2x + 3y <= 6?

Risposta:

#A = 12 #

Spiegazione:

Il valore assoluto è dato da

# | A | = {(a, a> 0), (- a, a <0):} #

Come tale, ci saranno quattro casi da considerare qui. L'area racchiusa da # 2 | x | 3 | y | <= 6 # sarà l'area racchiusa tra i quattro diversi casi. Questi sono, rispettivamente:

#diamond x> 0 e y> 0 #

# 2 | x | 3 | y | <= 6 #

# 2x + 3y <= 6 => y <= 2-2 / 3x #

La parte dell'area che cerchiamo sarà l'area definita dal grafico

#y = 2-2 / 3x #

e gli assi:

Poiché questo è un triangolo rettangolo con vertici #(0,2)#, #(3,0)# e #(0,0)#, le sue gambe avranno lunghezze #2# e #3# e la sua area sarà:

# A_1 = (2 * 3) / 2 = 3 #

Il secondo caso sarà

#diamond x <0 e y> 0 #

# 2 | x | 3 | y | <= 6 #

# -2x + 3y <= 6 => y <= 2 + 2 / 3x #

Ancora una volta, l'area necessaria verrà definita dal grafico # Y = 2 + 2 / 3x # e gli assi:

Questo ha i vertici #(0,2)#, #(-3,0)# e #(0,0)#, ancora una volta con gambe lunghe #2# e #3#.

# A_2 = (2 * 3) / 2 = 3 #

C'è chiaramente una sorta di simmetria qui. Analogamente, la risoluzione delle quattro aree produrrà lo stesso risultato; tutti i triangoli hanno un'area #3#. Come tale, l'area racchiusa da

# 2 | x | + 3 | y | <= 6 #

# A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = 4 * 3 = 12 #

Come visto sopra, la forma descritta da # 2 | x | 3 | y | <= 6 # è un rombo.