Qual è il vettore unitario che è ortogonale al piano contenente (- 5 i + 4 j - 5 k) e (4 i + 4 j + 2 k)?

Risposta:

Ci sono due passaggi: (1) trovare il prodotto incrociato dei vettori, (2) normalizzare il vettore risultante. In questo caso, la risposta è:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Spiegazione:

Il prodotto incrociato di due vettori produce un vettore che è ortogonale (ad angolo retto) per entrambi.

Il prodotto incrociato di due vettori #(un#io# + B #j# + C #K#)# e # (P #io# # + Qj# + R #K#)# è dato da # (B * r-c * q) i + (c * p-a * r) j + (a * q-b * p) k #

Il primo passo è trovare il prodotto incrociato:

# (- 5i + 4j-5k) xx (4i + 4j + 2k) = ((4 * 2) - (4 * -5) i + ((-5 * 4) - (- 5 * 2)) j + ((-5 * 4) - (4 * 4)) k = ((8 - (- 20)) i + (- 20 - (- 10) j + ((- 20) -16) k) = (28i-10j -36k) #

Questo vettore è ortogonale a entrambi i vettori originali, ma non è un vettore unitario. Per renderlo un vettore unitario, dobbiamo normalizzarlo: dividere ciascuna delle sue componenti in base alla lunghezza del vettore.

# l = sqrt (28 ^ 2 + (- 10) ^ 2 + (- 36) ^ 2) = 46.7 # unità

Il vettore unitario ortogonale ai vettori originali è:

# ((28) / (46,7) i- (10) / (46,7) j- (36) / (46,7) k) #

Questo è un vettore unitario che è ortogonale a entrambi i vettori originali, ma ce n'è un altro - quello nella direzione esattamente opposta. Semplicemente cambiando il segno di ognuno dei componenti si ottiene un secondo vettore ortogonale ai vettori originali.

# (- (28) / (46,7) i + (10) / (46,7) j + (36) / (46,7) k) #

(ma è il primo vettore che dovresti offrire come risposta su un test o un incarico!)