Il numero 90 ^ 9 ha 1900 divisori interi positivi diversi. Quanti di questi sono quadrati di interi?

Risposta:

Wow - Devo rispondere alla mia stessa domanda.

Spiegazione:

Si scopre che l'approccio è una combinazione di combinatoria e teoria dei numeri. Iniziamo con il factoring #90^9# nei suoi fattori primi:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Il trucco qui è capire come trovare quadrati di interi, che è relativamente semplice. I quadrati di interi possono essere generati in vari modi da questa fattorizzazione:

#5^9*3^18*2^9#

Possiamo vederlo #5^0#, ad esempio, è un quadrato di un numero intero e un divisore di #90^9#; allo stesso modo, #5^2#, #5^4#,#5^6#, e #5^8# tutti soddisfano anche queste condizioni. Pertanto, abbiamo 5 possibili modi per configurare un divisore di #90^9# questo è un quadrato di un intero, usando solo 5s.

Lo stesso ragionamento vale per #3^18# e #2^9#. Ogni potere pari di questi fattori primi - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 totale) per 3 e 0, 2, 4, 6, 8 (5 totale) per 2 - è un quadrato perfetto che è un divisore di #90^9#. Inoltre, qualsiasi combinazione di questi primi divisori che hanno poteri pari soddisfa anche le condizioni. Per esempio, #(2^2*5^2)^2# è un quadrato di un intero, come è #(3^8*2^4)^2#; ed entrambi, essendo costituiti da divisori di #90^9#, sono anche divisori di #90^9#.

Quindi il numero desiderato di quadrati di interi che sono divisori di #90^9# è dato da #5*10*5#, che è la moltiplicazione delle possibili scelte per ciascun fattore primo (5 per 5, 10 per 3 e 5 per 2). Questo è uguale a #250#, qual è la risposta corretta.