X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x ). Per favore aiutami con la prima affermazione?

Per capire queste affermazioni, dobbiamo prima capire la notazione usata.

• #AA# - per tutti - Questo simbolo implica che qualcosa vale per ogni esempio all'interno di un set. Quindi, quando aggiungiamo una variabile #X#, # # AAX significa che alcune affermazioni si applicano a tutti i possibili valori o articoli che potremmo sostituire #X#.

• #P (x), Q (x) # - proposizione - Queste sono proposizioni logiche riguardo #X#, cioè, rappresentano dichiarazioni su #X# che sono vere o false per ogni particolare #X#.

• # # - e - Questo simbolo consente la combinazione di più proposizioni. Il risultato combinato è vero quando entrambe le proposizioni restituiscono true e false altrimenti.

• # # - o - Questo simbolo consente anche la combinazione di più proposizioni. Il risultato combinato è falso quando entrambe le proposizioni restituiscono false e vero altrimenti.

• # # - se e solo se - Questo simbolo consente anche la combinazione di più proposizioni. Il risultato combinato è vero quando entrambe le proposizioni restituiscono lo stesso valore di verità per tutti #X#e falso altrimenti.

Con questo, possiamo ora tradurre le dichiarazioni. La prima frase, direttamente formulata, sembrerebbe "Per tutti x, P di x e Q di x se e solo se per tutti x, P di x, e per tutti x, Q di x".

Alcune aggiunte e modifiche minori lo rendono un po 'più comprensibile.

"Per tutti x, P e Q sono veri per x se e solo se P è vero per tutti x e Q è vero per tutti x."

Questa affermazione è una tautologia, cioè è vera indipendentemente da ciò che sostituiamo in P o Q. Possiamo dimostrarlo dimostrando che la proposizione precedente a implica quella successiva a essa e viceversa.

A partire dalla dichiarazione precedente, ce l'abbiamo per ogni #X#, #P (x) Q (x) # è vero. Con la nostra definizione sopra, ciò significa che per ogni #X#, #P (x) # è vero e #Q (x) # è vero. Questo implica che per nessuno #X#, #P (x) # è vero e per nessuno #X#, #Q (x) # è vero, che è l'affermazione che appare dopo.

Se partiamo dall'istruzione che appare dopo, allora lo sappiamo per qualsiasi #X#, #P (x) # è vero e per nessuno #X#, #Q (x) # è vero. Quindi per tutti #X#, #P (x) # e #Q (x) # sono entrambi veri, significato per tutti #X#, #P (x) Q (x) # è vero. Ciò dimostra che la prima affermazione è sempre vera.

La seconda affermazione è falsa. Senza passare attraverso il processo completo come sopra, possiamo semplicemente mostrare che le due proposizioni su entrambi i lati del non hanno sempre lo stesso valore di verità. Ad esempio, supponiamo che per la metà di tutto ciò sia possibile #X#, #P (x) # è vero e #Q (x) # è falso, e per l'altra metà, #Q (x) # è vero e #P (x) # è falso.

In questo caso, come per tutti #X#, o #P (x) # o #Q (x) # è vero, la proposizione #AAx (P (x) Q (x)) # è vero (vedi le descrizioni di sopra). Ma, perché ci sono valori per #X# per cui #P (x) # è falso, la proposizione #AAxP (x) # è falso. Allo stesso modo, #AAxQ (x) # è anche falso, nel senso #AAxP (x) AAxQ (x) # è falso.

Poiché le due proposizioni hanno diversi valori di verità, chiaramente la verità di uno non garantisce la verità dell'altro, e così unirle a risulta in una nuova proposizione che è falsa.