Qual è l'integrale di sqrt (9-x ^ 2)?

Ogni volta che vedo questo tipo di funzioni, riconosco (praticando molto) che dovresti usare una sostituzione speciale qui:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Potrebbe sembrare una strana sostituzione, ma vedrai perché lo stiamo facendo.

#dx = 3cos (u) du #

Sostituisci ogni cosa nell'integrale:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Possiamo portare il 3 fuori dall'integrale:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Puoi calcolare il 9 out:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Conosciamo l'identità: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Se risolviamo per # # Cosx, noi abbiamo:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Questo è esattamente ciò che vediamo nell'integrale, quindi possiamo sostituirlo:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Potresti conoscere questo come una fondamentale antiderivata, ma se non lo fai, puoi capirlo in questo modo:

Usiamo l'identità: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (puoi risolvere questo problema con la sostituzione)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Ora, tutto ciò che dobbiamo fare è mettere # U # nella funzione. Torniamo a guardare come l'abbiamo definito:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Ottenere # U # fuori da questo, è necessario prendere la funzione inversa di #peccato# da entrambe le parti, questo è # # Arcsin:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Ora abbiamo bisogno di inserirlo nella nostra soluzione:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Questa è la soluzione finale.