Risposta:
Il punto # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) approx (1.26694,1.16437) # è un punto minimo locale.
Spiegazione:
I derivati parziali del primo ordine sono # (parziale f) / (parziale x) = y-3x ^ {- 4} # e # (partial f) / (partial y) = x-2y ^ {- 3} #. Impostando entrambi i risultati uguali a zero nel sistema # Y = 3 / x ^ (4) # e # X = 2 / y ^ {3} #. Sottotitolando la prima equazione nella seconda dà # X = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Da #x! = 0 # nel dominio di # F #, questo risulta in # X ^ {11} = 27/2 # e # X = (27/2) ^ {1/11} # così che # Y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
I derivati parziali del secondo ordine sono # (parziale ^ {2} f) / (parziale x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (parziale ^ {2} f) / (parziale y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, e # (parziale ^ {2} f) / (parziale x parziale y) = (parziale ^ {2} f) / (parziale y parziale x) = 1 #.
Il discriminante è quindi # D = (parziale ^ {2} f) / (parziale x ^ {2}) * (parziale ^ {2} f) / (parziale y ^ {2}) - ((parziale ^ {2} f) / (parziale x parziale y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Questo è positivo nel punto critico.
Poiché anche i derivati parziali puri (non miscelati) del secondo ordine sono positivi, ne consegue che il punto critico è un minimo locale.
