Quali sono i numeri complessi? Grazie.

I numeri complessi sono numeri della forma # A + bi # dove #un# e # B # sono numeri reali e #io# è definito come # I = sqrt (-1) #.

(Quanto sopra è una definizione di base di numeri complessi. Continua a leggere per un po 'di più su di loro.)

Molto simile a come indichiamo l'insieme di numeri reali come # RR #, denotiamo l'insieme di numeri complessi come # CC #. Nota che tutti i numeri reali sono anche numeri complessi, come qualsiasi numero reale #X# può essere scritto come # X + 0i #.

Dato un numero complesso # Z = a + bi #, lo diciamo #un# è il parte reale del numero complesso (denotato # "Re" (z) #) e # B # è il parte immaginaria del numero complesso (denotato # "Im" (z) #).

L'esecuzione di operazioni con numeri complessi è simile all'esecuzione di operazioni sui binomiali. Dati due numeri complessi # z_1 = a_1 + b_1i # e # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = A_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (ricorda # I = sqrt (-1) #)

# = (A_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((+ A_1 b_1i) (a_2-b_2i)) / ((+ a_2 b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((+ A_1a_2 b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + q_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Per la divisione, abbiamo usato il fatto che # (A + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Dato un numero complesso # Z = a + bi # Noi chiamiamo # A-bi # il complesso coniugato di # Z # e denotalo #bar (z) # È una proprietà utile (come visto sopra) #zbar (z) # è sempre un numero reale.

I numeri complessi hanno molte applicazioni e attributi utili, ma uno che viene spesso riscontrato in anticipo è il loro uso nel factoring dei polinomi. Se ci limitiamo solo a numeri reali, un polinomio come # X ^ 2 + 1 # non può essere ulteriormente fattorizzato, tuttavia se permettiamo numeri complessi, allora lo abbiamo # X ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

Infatti, se ammettiamo numeri complessi, allora qualunque polinomio di grado a singola variabile # N # può essere scritto come il prodotto di # N # fattori lineari (eventualmente con alcuni sono uguali). Questo risultato è noto come teorema fondamentale dell'algebra e, come indica il nome, è molto importante all'algebra e ha un'ampia applicazione.