Risposta:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # per #b in RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # per #b = | b | e ^ (itheta) in CC #
Spiegazione:
Con il teorema fondamentale dell'algebra, possiamo considerare l'espressione data come
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
dove ciascuno # # Alpha_k è una radice di # X ^ 8 + b ^ 8 #.
Risolvere per # # Alpha_k, noi abbiamo
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | B | (-1) ^ (1/8) # (supponendo #b in RR #)
# = | B | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k in ZZ #
Come #k in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # conti di tutti i valori unici di quella forma, otteniamo la nostra fattorizzazione come, per #b in RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
Per un più generale #b in CC #, quindi supponendo #b = | b | e ^ (itheta) #, possiamo passare attraverso calcoli simili da trovare
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
senso
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #
Spiacente, trascuro alcuni dettagli minori, la risposta fornita da sente è corretta.
ammesso che #b ne 0 # e # a, b in RR # noi abbiamo
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # poi
# A / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # poi
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # sono i # K = 0,1, cdots, 7 # radici o fattori.
Definire
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
e poi
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
così
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # con coefficienti reali.
