Due numeri differiscono di 3. La somma dei loro reciproci è sette decimi. Come trovi i numeri?

Risposta:

Ci sono due soluzioni per un problema:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Spiegazione:

Questo è un problema tipico che può essere risolto utilizzando un sistema di due equazioni con due variabili sconosciute.

Lascia che sia la prima variabile sconosciuta #X# e il secondo # Y #.

La differenza tra loro è #3#, che risulta nell'equazione:

(1) # x-y = 3 #

I loro reciproci sono # 1 / x # e # 1 / y #, la cui somma è #7/10#, che risulta nell'equazione:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Per inciso, l'esistenza di reciproci richiede le restrizioni:

# X! = 0 # e #y! = 0 #.

Per risolvere questo sistema, usiamo il metodo di sostituzione.

Dalla prima equazione possiamo esprimere #X# in termini di # Y # e sostituire nella seconda equazione.

Dall'equazione (1) possiamo derivare:

(3) #x = y + 3 #

Sostituirlo con l'equazione (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Per inciso, ciò richiede un'altra restrizione:

# Y + 3! = 0 #, questo è #y = -! 3 #.

Utilizzando il denominatore comune # 10y (y + 3) # e considerando solo i numeratori, trasformiamo l'equazione (4) in:

# 10y + 10 (y + 3) = 7y (y + 3) #

Questa è un'equazione quadratica che può essere riscritta come:

# 20Y + 30 = 7y ^ 2 + 21Y # o

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

Due soluzioni a questa equazione sono:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

o

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Quindi, abbiamo due soluzioni per # Y #:

# Y_1 = 2 # e # Y_2 = -30 / 14 = -15/7 #

Corrispondentemente, usando # X = y + 3 #, concludiamo che ci sono due soluzioni per un sistema:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

In entrambi i casi #X# è più grande di # Y # di #3#, quindi la prima condizione di un problema è soddisfatta.

Controlliamo la seconda condizione:

(a) per una soluzione # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - controllato

(b) per una soluzione # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - controllato

Entrambe le soluzioni sono corrette.