Qual è il metodo di espansione del cofattore per trovare il determinante?

Ciao !

Permettere #A = (a_ {i, j}) # essere una matrice di dimensioni #n times n #.

Scegli una colonna: il numero della colonna # # J_0 (Scriverò: "il # # J_0-th colonna ").

Il formula di espansione cofattore (o la formula di Laplace) per il # # J_0-th colonna è

# det (A) = sum_ {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

dove # Delta_ {i, j_0} # è il determinante della matrice #UN# senza di essa #io#-th line e il suo # # J_0-th colonna; così, # Delta_ {i, j_0} # è un determinante delle dimensioni # (n-1) times (n-1) #.

Si noti che il numero # (- 1) ^ {i + j_0} {i delta_, j_0} # è chiamato cofattore di posto # (I, j_0) #.

Forse sembra complicato, ma è facile da capire con un esempio. Vogliamo calcolare # D #:

Se sviluppiamo sulla seconda colonna, ottieni

così:

Finalmente, # D = 0 #.

Per essere efficiente, devi scegliere una linea che abbia molti zeri: la somma sarà molto semplice da calcolare!

osservazione. Perché # det (A) = det (A ^ text {T}) #, puoi anche scegliere una riga piuttosto una colonna. Quindi, la formula diventa

# det (A) = sum_ {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

dove # # I_0 è il numero della linea selezionata.