Cosa rappresenta la velocità istantanea su un grafico?

A condizione che il grafico sia di distanza in funzione del tempo, la pendenza della linea tangente alla funzione in un dato punto rappresenta la velocità istantanea in quel punto.

Per avere un'idea di questa pendenza, si deve usare limiti. Per un esempio, si supponga di avere una funzione di distanza #x = f (t) #e si desidera trovare la velocità istantanea, o velocità di cambiamento della distanza, nel punto # p_0 = (t_0, f (t_0)) #, aiuta a esaminare prima un altro punto vicino, # p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)) #, dove #un# è una costante arbitrariamente piccola. La pendenza del linea secante passando attraverso il grafico in questi punti è:

# F (T_0 + a) -f (T_0) / a #

Come # # P_1 approcci # # P_0 (che avverrà come nostro #un# diminuisce), il nostro sopra # quoziente di riferimento # si avvicinerà a un limite, qui designato # L #, che è la pendenza della linea tangente nel punto specificato. A quel punto, un'equazione punto-pendenza usando i nostri punti sopra può fornire un'equazione più esatta.

Se invece si è familiari differenziazionee la funzione è sia continua che differenziabile al valore dato di # T #, quindi possiamo semplicemente differenziare la funzione. Dato che la maggior parte delle funzioni a distanza sono funzioni polinomiali, della forma #x = f (t) = at ^ n + bt ^ (n-1) + ct ^ (n-2) + … + yt + z, # questi possono essere differenziati usando il regola di potere che afferma che per una funzione #f (t) = at ^ n, (df) / dt # (o #f '(t) #) = # (N) a ^ (n-1) #.

Quindi per la nostra funzione polinomiale generale sopra, #x '= f' (t) = (n) in ^ (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + … + y # (Da notare che da allora #t = t ^ 1 # (dato che qualsiasi numero elevato alla prima potenza è uguale a se stesso), riducendo la potenza di 1 ci lascia con # t ^ 0 = 1 #, quindi perché il termine finale è semplicemente # Y #. Nota anche che il nostro # Z # termine, essendo una costante, non è cambiato rispetto a # T # e così fu scartato in differenziazione).

Questo #f '(t) # è la derivata della funzione distanza rispetto al tempo; quindi, misura il tasso di variazione della distanza rispetto al tempo, che è semplicemente la velocità.