Usa il primo principio per differenziare? y = sqrt (sinx)

Risposta:

Il primo passo è quello di riscrivere la funzione come esponente razionale #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

Spiegazione:

Dopo aver espresso la tua espressione in quella forma, puoi differenziarla usando la regola della catena:

Nel tuo caso: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

Poi, # 1 / 2sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x) # qual è la tua risposta

Risposta:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

Spiegazione:

Usando la definizione limite della derivata abbiamo:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

Quindi per la funzione data, dove #f (x) = sqrt (sinx) #, noi abbiamo:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

# = lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

Quindi possiamo usare l'identità trigonometrica:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

Dandoci:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) + (cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

Quindi usiamo due limiti di calcolo molto standard:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1 #, e #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #, e #

E ora possiamo valutare i limiti:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

# = (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #