Come convertire r = 7 / (5-5costheta) in forma rettangolare?

Risposta:

Questa è la parabola laterale # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Spiegazione:

Questo è interessante perché semplicemente diverge; il minimo del denominatore è zero. È una sezione conica; il solo divergente credo lo renda una parabola. Non importa molto, ma ci dice che possiamo ottenere una bella forma algebrica senza funzioni trigonometriche o radici quadrate.

L'approccio migliore è di tipo arretrato; usiamo le sostituzioni polari a quelle rettangolari quando sembra che l'altro modo sia più diretto.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Così # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Vediamo #r> 0. # Iniziamo cancellando la frazione.

# 5 r - 5 r costa = 7 #

Abbiamo un #r cos theta # Così è #X.#

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

La nostra osservazione iniziale era #r> 0 # così la quadratura è OK.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Ora sostituiamo di nuovo.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Tecnicamente abbiamo risposto alla domanda a questo punto e potremmo fermarci qui. Ma c'è ancora dell'algebra da fare e, si spera, una ricompensa alla fine: forse possiamo dimostrare che questa è in realtà una parabola.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

graph {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17.35, 50, -30, 30}

Sì, è una parabola, ruotata # 90 ^ circ #dal solito orientamento.

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