Quali sono gli estremi di f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 nell'intervallo [-1,3]?

Risposta:

Abbiamo un minimo a # X = 0 # e un punto di inflessione a # X = 3 #

Spiegazione:

Un massimo è un punto alto a cui una funzione sale e poi cade di nuovo. Come tale, la pendenza della tangente o il valore della derivata in quel punto sarà zero.

Inoltre, poiché le tangenti alla sinistra di maxima saranno inclinate verso l'alto, quindi appiattendo e quindi inclinandosi verso il basso, la pendenza della tangente diminuirà continuamente, cioè il valore della derivata seconda sarebbe negativo.

Un valore minimo invece è un punto basso a cui una funzione cade e quindi sale di nuovo. Dark confortevole oossi97

Ma, poiché le tangenti a sinistra dei minimi saranno inclinate verso il basso, quindi appiattendo e quindi inclinate verso l'alto, la pendenza della tangente aumenterà continuamente o il valore della derivata seconda sarebbe positivo.

Se la derivata seconda è zero, abbiamo un punto di

Tuttavia, questi massimi e minimi possono essere universali cioè massimi o minimi per l'intero intervallo o possono essere localizzati, cioè massimi o minimi in un intervallo limitato.

Vediamolo con riferimento alla funzione descritta nella domanda e per questo dobbiamo prima distinguerci #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

La sua prima derivata è data da #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Questo sarebbe zero per # X ^ 2-9 = 0 # o #x = + - 3 # o #0#. Di questi solo #{0,3}# sono all'interno dell'intervallo #-1,3}#.

Quindi massimi o minimi si verifica in punti # X = 0 # e # X = 3 #.

Per scoprire se sono massimi o minimi, guardiamo al secondo differenziale che è #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # e quindi mentre

a # X = 0 #, #f '' (x) = 486 # ed è positivo

a # X = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # ed è un punto di inflessione.

Quindi, abbiamo un minimo locale a # X = 0 # e un punto di inflessione a # X = 3 #

. grafico {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Risposta:

Il minimo assoluto è #(-9)^3+10# (che si verifica a #0#), il massimo assoluto sull'intervallo è #10#, (che si verifica a #3#)

Spiegazione:

La domanda non specifica se dobbiamo trovare estremi relativi o assoluti, quindi troveremo entrambi.

Gli estremi relativi possono verificarsi solo in corrispondenza di numeri critici. I numeri critici sono valori di #X# che sono nel dominio di # F # e a quale entrambi #f '(x) = 0 # o #f '(x) non esiste. (Teorema di Fermat)

Gli estremi assoluti su un intervallo chiuso possono verificarsi in corrispondenza di numeri critici nell'intervallo o in punti dell'intervallo.

Perché la funzione richiesta qui è continua #-1,3#, il Teorema del valore estremo ci assicura questo # F # deve avere un minimo assoluto e un massimo assoluto nell'intervallo.

Numeri critici e estremi relativi.

Per #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, noi troviamo #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Chiaramente, # F '# non manca mai di esistere, quindi non ci sono numeri critici di quel tipo.

soluzione # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # produce soluzioni #-3#, #0#, e #3#.

#-3# non è nel dominio di questo problema, #-1,3# quindi dobbiamo solo controllare #f (0) # e #f (3) #

Per #x <0 #, noi abbiamo #f '(x) <0 # e

per #x> 0 #, noi abbiamo #f '(x)> 0 #.

Quindi, con il primo test derivativo, #f (0) # è un minimo relativo. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

L'altro numero critico nell'intervallo è #3#. Se ignoriamo la restrizione del dominio, lo troviamo #f '(x)> 0 # per tutti #X# vicino #3#. Quindi, la funzione aumenta su piccoli intervalli aperti contenenti #3#. Pertanto, se ci fermiamo a #3# abbiamo raggiunto il punto più alto nel dominio.

C'è non accordo universale se dirlo #f (3) = 10 # è un massimo relativo per questa funzione attivata #-1,3#.

Alcuni richiedono valore su entrambi i lati per essere meno, altri richiedono valori nel dominio su entrambi i lati per essere meno.

Extrema assoluto

La situazione degli estremi assoluti su un intervallo chiuso # A, b # è molto più semplice.

Trova i numeri critici nell'intervallo chiuso. Chiama il # c_1, c_2 # e così via.

Calcola i valori #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # e così via. Il valore massimo è il maixmum assoluto sull'intervallo e il valore minimo è il minimo assoluto nell'intervallo.

In questa domanda calcoliamo #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # e #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Il minimo è #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # e

il massimo è #f (-3) = 10 #.