Domanda n. 90cf3 + Esempio

Risposta:

Per trovare le radici di equazioni come # e ^ x = x ^ 3 #, Ti consiglio di usare un metodo di analisi numerica ricorsivo, chiamato Newton's Method

Spiegazione:

Facciamo un esempio.

Per usare il metodo di Newton, si scrive l'equazione nella forma #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Calcolare #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Poiché il metodo richiede che facciamo lo stesso calcolo molte volte, finché non converge, ti consiglio di utilizzare un foglio di calcolo Excel; il resto della mia risposta conterrà le istruzioni su come farlo.

Inserisci una buona ipotesi per x nella cella A1. Per questa equazione, inserirò 2.

Immettere quanto segue nella cella A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Si prega di notare che quanto sopra è linguaggio di foglio di calcolo di Excel per

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Copiare il contenuto della cella A2 in A3 tramite A10. Dopo solo 3 o 4 ricorsioni, puoi vedere che il metodo è stato convertito

# x = 1.857184 #

Risposta:

Possiamo usare il Teorema del Valore Intermedio per vedere che ogni coppia ha almeno un punto di intersezione.

Spiegazione:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # è continuo su tutta la linea reale.

A # X = 0 #, noi abbiamo #f (0) = 1 #.

A # x = -1 #, noi abbiamo #f (-1) = 1 / e-1 # che è negativo

# F # è continuo #-1,0#, quindi ce n'è almeno uno # C # nel #(-1,0)# con #f (c) = 0 #.

#G (x) = e ^ x-x ^ 3 # è continuo su tutta la linea reale.

A # X = 0 #, noi abbiamo #G (0) = 1 #.

A # X = 2 #, noi abbiamo #g (2) = e ^ 2-8 # che è negativo

(Nota che # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# G # è continuo #0,2#, quindi ce n'è almeno uno # C # nel #(0,2)# con #G (c) = 0 #.