Risposta:
Il discriminante #Delta# di # m ^ 2 + m + 1 = 0 # è #-3#.
Così # m ^ 2 + m + 1 = 0 # non ha soluzioni reali. Ha una coppia coniugata di soluzioni complesse.
Spiegazione:
# m ^ 2 + m + 1 = 0 # è della forma # am ^ 2 + bm + c = 0 #, con # A = 1 #, # B = 1 #, # C = 1 #.
Questo ha discriminante #Delta# dato dalla formula:
#Delta = b ^ 2-4ac = 1 ^ 2 - (4xx1xx1) = -3 #
Possiamo concludere che # m ^ 2 + m + 1 = 0 # non ha radici reali.
Le radici di # m ^ 2 + m + 1 = 0 # sono dati dalla formula quadratica:
#m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) #
Si noti che la discriminante è la parte all'interno della radice quadrata. Quindi se #Delta> 0 # allora l'equazione quadratica ha due distinte radici reali. Se #Delta = 0 # poi ha una vera radice ripetuta. Se #Delta <0 # quindi ha un paio di distinte radici complesse.
Nel nostro caso:
#m = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) = (-1 + -sqrt (-3)) / 2 = (-1 + -i sqrt (3)) / 2 #
Il numero # (- 1 + i sqrt (3)) / 2 # è spesso indicato dalla lettera greca #omega#.
È la radice cubica primitiva di #1# ed è importante quando si trovano tutte le radici di un'equazione cubica generale.
Notare che # (m-1) (m ^ 2 + m + 1) = m ^ 3 - 1 #
Così # omega ^ 3 = 1 #
Risposta:
Il discriminante di # (M ^ 2 + m + 1 = 0) # è #(-3)# che ci dice che non ci sono soluzioni reali all'equazione (un grafico dell'equazione non attraversa l'asse m).
Spiegazione:
Data un'equazione quadratica (usando # M # come variabile) nella forma:
#color (bianco) ("XXXX") ## am ^ 2 + bm + c = 0 #
La soluzione (in termini di # M #) è data dalla formula quadratica:
#color (bianco) ("XXXX") ##m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #
Il discriminante è la parte:
#color (bianco) ("XXXX") ## B ^ 2-4ac #
Se la discriminante è negativo
#color (bianco) ("XXXX") #ci può essere nessuna vera soluzione
#color (bianco) ("XXXX") #(poiché non esiste un valore reale che è la radice quadrata di un numero negativo).
Per l'esempio indicato
#color (bianco) ("XXXX") ## m ^ 2 + m + 1 = 0 #
il discriminante, #Delta# è
#color (bianco) ("XXXX") ##(1)^2 - 4(1)(1) = -3#
e quindi
#color (bianco) ("XXXX") #non ci sono soluzioni reali a questo quadratico.
