Risposta:
Soluzione: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) #
Spiegazione:
# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # o
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # o
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # o
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # o
# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. # O
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 o (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) +5) = 0:. 4 cos (x / 2) = - 5 # o
# cos (x / 2)! = 5/4 # poiché gamma di #cos x # è #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0:. 5 cos (x / 2) = 3 # o
#cos (x / 2) = 3/5:. x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53,13 ^ 0 #
Anche #cos (-53,13) ~~ 3/5:. x = 53,13 * 2 ~~ 106,26 ^ 0 #
e # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #
Soluzione: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) # Ans
Risposta:
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # numero intero #K#
Spiegazione:
Iniziamo sostituendo # y = x / 2 # per sbarazzarsi degli angoli frazionari.
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
La forma preferita della formula del doppio angolo del coseno è
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #
sostituendo, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
Questo è un fattore da prendere in considerazione, ma una piccola ricerca si presenta
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 o cosy = -5 / 4 #
Possiamo ignorare il coseno fuori limite.
#cos y = 3/5 #
Possiamo usare la formula a doppio angolo:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7/25) #
Questa è una tripla pitagorica #7^2+24^2=25^2# quindi possiamo provare a scrivere così # arctan (pm 24/7) # ma sono radici più estranee.
# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # numero intero #K#
Dai un'occhiata:
Controlleremo una coppia con una calcolatrice.
# x = testo {Arco} testo {cos} (- 7/25) circa 106.260205 ^ circ #
# 10 cos (106.260205) + 13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 volte 10 ^ {- 8} quad sqrt #
Aggiungiamo 360 e ricontrolliamo:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15.6 quad # NON FUNZIONA.
A causa del mezzo angolo, la risposta corretta sembra essere
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # numero intero #K#
