Si prega di risolvere questo? quale opzione è corretta?

Questo è prontamente visto come non fattibile con mezzi elementari, quindi ho appena risolto numericamente e ottenuto:

Ho valutato l'integrale per #n = 1, 1.5, 2,…, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100 #. A quel punto stava chiaramente raggiungendo #0.5#.

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

o

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Ora supponendo che una delle risposte sia vera, la più naturale sembra essere la quarta 4)

NOTA

per #x in 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Risposta:

#1/2#

Spiegazione:

Come è già stato mostrato in una soluzione precedente, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

esiste ed è limitato:

# 1/2 le I_n <1 #

Ora l'integrazione per resa delle parti

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n volte (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Ora, da allora # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # nel #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

Da #lim_ (n to oo) I_n # esiste, abbiamo

#lim_ (n to oo) J_n = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n to oo) 2 / (n + 2) volte lim_ (n to oo) I_ (n + 2) = 0 #

Quindi

# lim_ (n to oo) I_n = 1/2 #