Domanda # 69feb

Risposta:

Linea normale: # Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Linea tangente: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Spiegazione:

Per intuizione: immagina quella funzione #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # descrive l'altezza di un terreno, dove #X# e # Y # sono le coordinate nel piano e #ln (y) # si presume che sia il logaritmo naturale. Quindi tutto # (X, y) # così #f (x, y) = a # (l'altezza) è uguale a qualche costante #un# sono chiamate curve di livello. Nel nostro caso l'altezza costante #un# è zero, dal momento che #f (x, y) = 0 #.

Potresti avere familiarità con le mappe topografiche, in cui le linee chiuse indicano linee di uguale altezza.

Ora il gradiente #grad f (x, y) = ((parziale f) / (x parziale), (parziale f) / (parziale x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # ci dà la direzione in un punto # (X, y) # in quale #f (x, y) # (l'altezza) cambia il più veloce. Questo è dritto o dritto giù per la collina, purché il nostro terreno sia liscio (differenziabile), e non siamo in cima, in fondo o su un altopiano (un punto estremo). Questa è infatti la normale direzione verso una curva di altezza costante, tale che a # (X, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

quindi, il linea normale in quella direzione che passa # (2, e ^ 2) # può essere descritto come

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, dove #s in mathbbR # è un parametro reale. Puoi eliminare #S# per esprimere # Y # come una funzione di #X# se preferisci, per trovare

# Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

La derivata direzionale nella direzione della tangente deve essere #0# (significa che l'altezza non cambia), quindi un vettore tangente # (U, v) # deve soddisfare

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# V = e ^ 2u #, dove # # Cdot significa il prodotto punto. Così # (u, v) = (1, e ^ 2) # è una scelta valida. quindi, il linea tangente andare attraverso # (2, e ^ 2) # può essere descritto come

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t in mathbbR #.

Risolvere per # Y # Dà questo

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Dovresti finalmente controllarlo # (2, e ^ 2) # si trova sulla curva #f (x, y) #, sulla linea tangente e sulla linea normale.