Come si scrive un polinomio con funzione di grado minimo in forma standard con coefficienti reali i cui zeri includono -3,4 e 2-i?

Risposta:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) # con #aq in RR #.

Spiegazione:

Permettere # P # sii il polinomio di cui stai parlando. Presumo #P! = 0 # o sarebbe banale.

P ha coefficienti reali, quindi #P (alpha) = 0 => P (baralpha) = 0 #. Significa che esiste un'altra radice per P, #bar (2-i) = 2 + i #, quindi questo modulo per # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # con #a_j in NN #, #Q in RR X # e #a in RR # perché vogliamo # P # avere coefficienti reali.

Vogliamo il grado di # P # essere il più piccolo possibile Se #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # poi #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = sum (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # così #deg (Q)> = 0 #. Se vogliamo # P # per avere il più piccolo grado possibile, quindi #deg (Q) = 0 # (# # Q è solo un numero reale # # Q), quindi #deg (P) = deg (R) # e qui possiamo persino dirlo #P = R #. #deg (P) # sarà il più piccolo possibile se ciascuno #a_j = 0 #. Così #deg (P) = 4 #.

Quindi per ora, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. Sviluppiamolo.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) in RR X #. Quindi questa espressione è la migliore # P # possiamo trovare con quelle condizioni!