Quali sono gli asintoti e le buche, se presenti, di f (x) = xsin (1 / x)?

Risposta:

Fare riferimento sotto.

Spiegazione:

Beh, ovviamente c'è un buco in # X = 0 #, dal momento che la divisione di #0# non è possibile.

Possiamo rappresentare graficamente la funzione:

graph {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Non ci sono altri asintoti o buchi.

Risposta:

#f (x) # ha un foro (discontinuità rimovibile) a # X = 0 #.

Ha anche un asintoto orizzontale # Y = 1 #.

Non ha asintoti verticali o inclinati.

Spiegazione:

Dato:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Userò alcune delle proprietà di #sin (t) #, vale a dire:

• #abs (sin t) <= 1 "" # per tutti i valori reali di # T #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # per tutti i valori di # T #.

Prima nota #f (x) # è una funzione uniforme:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Noi troviamo:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Così:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Poiché questo è #0#così è #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Inoltre, da #f (x) # è anche:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Nota che #f (0) # è indefinito, poiché implica la divisione di #0#, ma entrambi i limiti sinistro e destro esistono e sono d'accordo # X = 0 #, quindi ha un buco (discontinuità rimovibile) lì.

Troviamo anche:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Allo stesso modo:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Così #f (x) # ha un asintoto orizzontale # Y = 1 #

graph {x sin (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}