Qual è il comportamento finale della funzione f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> infty # come #x -> infty # (#ln (x) # cresce senza vincoli come #X# cresce senza vincoli) e #f (x) = ln (x) -> - infty # come #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # cresce senza vincoli nella direzione negativa come #X# si avvicina a zero dalla destra).

Per dimostrare il primo fatto, devi essenzialmente dimostrare che la funzione crescente #f (x) = ln (x) # non ha asintoto orizzontale come #x -> infty #.

Permettere #M> 0 # essere un dato numero positivo (non importa quanto grande). Se #x> e ^ {M} #, poi #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {} M) = M # (da #f (x) = ln (x) # è una funzione crescente). Ciò dimostra che qualsiasi linea orizzontale # Y = M # non può essere un asintoto orizzontale di #f (x) = ln (x) # come #x -> infty #. Il fatto che #f (x) = ln (x) # è una funzione crescente ora implica questo #f (x) = ln (x) -> infty # come # X-> infty #.

Per dimostrare il secondo fatto, lascia #M> 0 # essere un dato numero positivo in modo che # -M <0 # è un dato numero negativo (non importa quanto lontano da zero). Se # 0 <x <e ^ {- M} #, poi #f (x) = ln (x) < ln (e ^ {- M}) = - M # (da #f (x) = ln (x) # sta aumentando). Questo lo dimostra #f (x) = ln (x) # ottiene sotto qualsiasi linea orizzontale se # 0 <x # è sufficientemente vicino allo zero. Questo significa #f (x) = ln (x) -> - infty # come #x -> 0 ^ {+} #.